Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62321 / 34646
↖ ↑ ↗
← N 64.370814°
W  8.830261°		 ← 132.08 m → N 64.370814°
W  8.827515°		 →
↑
132.07 m
↓
↑
132.07 m
↓
N 64.369626°
W  8.830261°		 ← 132.09 m →
17 445 m²		 N 64.369626°
W  8.827515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475475311279297 y=0.264331817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475475311279297 × 217)
    floor (0.475475311279297 × 131072)
    floor (62321.5)     		tx = 62321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264331817626953 × 217)
    floor (0.264331817626953 × 131072)
    floor (34646.5)     		ty = 34646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62321 / 34646 ti = "17/62321/34646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62321/34646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62321 ÷ 217
    62321 ÷ 131072     		x = 0.475471496582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34646 ÷ 217
    34646 ÷ 131072     		y = 0.264328002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475471496582031 × 2 - 1) × π
    -0.0490570068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15411713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264328002929688 × 2 - 1) × π
    0.471343994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48077082926353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15411713} λ = -0.15411713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48077082926353))-π/2
    2×atan(4.39633319743342)-π/2
    2×1.3471394844693-π/2
    2.69427896893861-1.57079632675     		φ = 1.12348264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15411713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.830261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12348264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.370814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62321 KachelY 34646 -0.15411713 1.12348264 -8.830261 64.370814
    Oben rechts KachelX + 1 62322 KachelY 34646 -0.15406920 1.12348264 -8.827515 64.370814
    Unten links KachelX 62321 KachelY + 1 34647 -0.15411713 1.12346191 -8.830261 64.369626
    Unten rechts KachelX + 1 62322 KachelY + 1 34647 -0.15406920 1.12346191 -8.827515 64.369626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12348264-1.12346191) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dl = 132.070829999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12348264-1.12346191) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dr = 132.070829999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15411713--0.15406920) × cos(1.12348264) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.432545084663603 × 6371000     		do = 132.082845119404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15411713--0.15406920) × cos(1.12346191) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.432563774993758 × 6371000     		du = 132.088552436562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12348264)-sin(1.12346191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432545084663603-0.432563774993758)×R²
    abs(-0.15406920--0.15411713)×1.86903301556685e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86903301556685e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86903301556685e-05×40589641000000     		ar = 17444.6678694969m²