Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62320 / 39106
↖ ↑ ↗
← N 58.536728°
W  8.833008°		 ← 159.42 m → N 58.536728°
W  8.830261°		 →
↑
159.40 m
↓
↑
159.40 m
↓
N 58.535294°
W  8.833008°		 ← 159.42 m →
25 412 m²		 N 58.535294°
W  8.830261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475467681884766 y=0.298358917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475467681884766 × 217)
    floor (0.475467681884766 × 131072)
    floor (62320.5)     		tx = 62320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298358917236328 × 217)
    floor (0.298358917236328 × 131072)
    floor (39106.5)     		ty = 39106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62320 / 39106 ti = "17/62320/39106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62320/39106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62320 ÷ 217
    62320 ÷ 131072     		x = 0.4754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39106 ÷ 217
    39106 ÷ 131072     		y = 0.298355102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298355102539062 × 2 - 1) × π
    0.403289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26697225695808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15416507} λ = -0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26697225695808))-π/2
    2×atan(3.55008752090004)-π/2
    2×1.29622747938585-π/2
    2.59245495877171-1.57079632675     		φ = 1.02165863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02165863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.536728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62320 KachelY 39106 -0.15416507 1.02165863 -8.833008 58.536728
    Oben rechts KachelX + 1 62321 KachelY 39106 -0.15411713 1.02165863 -8.830261 58.536728
    Unten links KachelX 62320 KachelY + 1 39107 -0.15416507 1.02163361 -8.833008 58.535294
    Unten rechts KachelX + 1 62321 KachelY + 1 39107 -0.15411713 1.02163361 -8.830261 58.535294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02165863-1.02163361) × R
    2.50199999998202e-05 × 6371000     		dl = 159.402419998854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02165863-1.02163361) × R
    2.50199999998202e-05 × 6371000     		dr = 159.402419998854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15416507--0.15411713) × cos(1.02165863) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.521951900067534 × 6371000     		do = 159.41754532252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15416507--0.15411713) × cos(1.02163361) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.521973241336657 × 6371000     		du = 159.424063495435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02165863)-sin(1.02163361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521951900067534-0.521973241336657)×R²
    abs(-0.15411713--0.15416507)×2.13412691230097e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13412691230097e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13412691230097e-05×40589641000000     		ar = 25412.0620221484m²