Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62318 / 40044
↖ ↑ ↗
← N 57.166036°
W  8.838501°		 ← 165.57 m → N 57.166036°
W  8.835755°		 →
↑
165.58 m
↓
↑
165.58 m
↓
N 57.164546°
W  8.838501°		 ← 165.58 m →
27 416 m²		 N 57.164546°
W  8.835755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475452423095703 y=0.305515289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475452423095703 × 217)
    floor (0.475452423095703 × 131072)
    floor (62318.5)     		tx = 62318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305515289306641 × 217)
    floor (0.305515289306641 × 131072)
    floor (40044.5)     		ty = 40044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62318 / 40044 ti = "17/62318/40044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62318/40044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62318 ÷ 217
    62318 ÷ 131072     		x = 0.475448608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40044 ÷ 217
    40044 ÷ 131072     		y = 0.305511474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475448608398438 × 2 - 1) × π
    -0.049102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15426094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305511474609375 × 2 - 1) × π
    0.38897705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22200744511447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15426094} λ = -0.15426094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22200744511447))-π/2
    2×atan(3.3939941565635)-π/2
    2×1.28426593419454-π/2
    2.56853186838909-1.57079632675     		φ = 0.99773554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15426094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.838501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99773554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.166036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62318 KachelY 40044 -0.15426094 0.99773554 -8.838501 57.166036
    Oben rechts KachelX + 1 62319 KachelY 40044 -0.15421301 0.99773554 -8.835755 57.166036
    Unten links KachelX 62318 KachelY + 1 40045 -0.15426094 0.99770955 -8.838501 57.164546
    Unten rechts KachelX + 1 62319 KachelY + 1 40045 -0.15421301 0.99770955 -8.835755 57.164546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99773554-0.99770955) × R
    2.59900000000313e-05 × 6371000     		dl = 165.582290000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99773554-0.99770955) × R
    2.59900000000313e-05 × 6371000     		dr = 165.582290000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15426094--0.15421301) × cos(0.99773554) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.542206396351079 × 6371000     		do = 165.569245868755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15426094--0.15421301) × cos(0.99770955) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54222823414422 × 6371000     		du = 165.5759143016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99773554)-sin(0.99770955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542206396351079-0.54222823414422)×R²
    abs(-0.15421301--0.15426094)×2.18377931413549e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18377931413549e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18377931413549e-05×40589641000000     		ar = 27415.8869732272m²