Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62317 / 40045
↖ ↑ ↗
← N 57.164546°
W  8.841248°		 ← 165.61 m → N 57.164546°
W  8.838501°		 →
↑
165.58 m
↓
↑
165.58 m
↓
N 57.163057°
W  8.841248°		 ← 165.62 m →
27 423 m²		 N 57.163057°
W  8.838501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475444793701172 y=0.305522918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475444793701172 × 217)
    floor (0.475444793701172 × 131072)
    floor (62317.5)     		tx = 62317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305522918701172 × 217)
    floor (0.305522918701172 × 131072)
    floor (40045.5)     		ty = 40045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62317 / 40045 ti = "17/62317/40045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62317/40045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62317 ÷ 217
    62317 ÷ 131072     		x = 0.475440979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40045 ÷ 217
    40045 ÷ 131072     		y = 0.305519104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475440979003906 × 2 - 1) × π
    -0.0491180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15430888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305519104003906 × 2 - 1) × π
    0.388961791992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.22195950821485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15430888} λ = -0.15430888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22195950821485))-π/2
    2×atan(3.39383146290585)-π/2
    2×1.28425293808605-π/2
    2.56850587617209-1.57079632675     		φ = 0.99770955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15430888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.841248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99770955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.164546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62317 KachelY 40045 -0.15430888 0.99770955 -8.841248 57.164546
    Oben rechts KachelX + 1 62318 KachelY 40045 -0.15426094 0.99770955 -8.838501 57.164546
    Unten links KachelX 62317 KachelY + 1 40046 -0.15430888 0.99768356 -8.841248 57.163057
    Unten rechts KachelX + 1 62318 KachelY + 1 40046 -0.15426094 0.99768356 -8.838501 57.163057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99770955-0.99768356) × R
    2.59899999999202e-05 × 6371000     		dl = 165.582289999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99770955-0.99768356) × R
    2.59899999999202e-05 × 6371000     		dr = 165.582289999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15430888--0.15426094) × cos(0.99770955) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54222823414422 × 6371000     		do = 165.610459662379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15430888--0.15426094) × cos(0.99768356) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542250071571097 × 6371000     		du = 165.617129374643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99770955)-sin(0.99768356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54222823414422-0.542250071571097)×R²
    abs(-0.15426094--0.15430888)×2.18374268767807e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18374268767807e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18374268767807e-05×40589641000000     		ar = 27422.7113534015m²