Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62316 / 29139
↖ ↑ ↗
← N 70.182310°
W  8.843994°		 ← 103.55 m → N 70.182310°
W  8.841248°		 →
↑
103.59 m
↓
↑
103.59 m
↓
N 70.181378°
W  8.843994°		 ← 103.55 m →
10 727 m²		 N 70.181378°
W  8.841248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475437164306641 y=0.222316741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475437164306641 × 217)
    floor (0.475437164306641 × 131072)
    floor (62316.5)     		tx = 62316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222316741943359 × 217)
    floor (0.222316741943359 × 131072)
    floor (29139.5)     		ty = 29139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62316 / 29139 ti = "17/62316/29139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62316/29139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62316 ÷ 217
    62316 ÷ 131072     		x = 0.475433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29139 ÷ 217
    29139 ÷ 131072     		y = 0.222312927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.04913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15435682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222312927246094 × 2 - 1) × π
    0.555374145507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.74475933547118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15435682} λ = -0.15435682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74475933547118))-π/2
    2×atan(5.72452361984781)-π/2
    2×1.39785435154435-π/2
    2.79570870308871-1.57079632675     		φ = 1.22491238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15435682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.843994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22491238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.182310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62316 KachelY 29139 -0.15435682 1.22491238 -8.843994 70.182310
    Oben rechts KachelX + 1 62317 KachelY 29139 -0.15430888 1.22491238 -8.841248 70.182310
    Unten links KachelX 62316 KachelY + 1 29140 -0.15435682 1.22489612 -8.843994 70.181378
    Unten rechts KachelX + 1 62317 KachelY + 1 29140 -0.15430888 1.22489612 -8.841248 70.181378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22491238-1.22489612) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dl = 103.592459999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22491238-1.22489612) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dr = 103.592459999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15435682--0.15430888) × cos(1.22491238) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.339028405642551 × 6371000     		do = 103.548001674388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15435682--0.15430888) × cos(1.22489612) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.339043702617723 × 6371000     		du = 103.55267376435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22491238)-sin(1.22489612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339028405642551-0.339043702617723)×R²
    abs(-0.15430888--0.15435682)×1.52969751713861e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.52969751713861e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.52969751713861e-05×40589641000000     		ar = 10727.0342184126m²