Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62313 / 39126
↖ ↑ ↗
← N 58.508044°
W  8.852234°		 ← 159.55 m → N 58.508044°
W  8.849487°		 →
↑
159.53 m
↓
↑
159.53 m
↓
N 58.506610°
W  8.852234°		 ← 159.55 m →
25 453 m²		 N 58.506610°
W  8.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475414276123047 y=0.298511505126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475414276123047 × 217)
    floor (0.475414276123047 × 131072)
    floor (62313.5)     		tx = 62313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298511505126953 × 217)
    floor (0.298511505126953 × 131072)
    floor (39126.5)     		ty = 39126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62313 / 39126 ti = "17/62313/39126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62313/39126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62313 ÷ 217
    62313 ÷ 131072     		x = 0.475410461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39126 ÷ 217
    39126 ÷ 131072     		y = 0.298507690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475410461425781 × 2 - 1) × π
    -0.0491790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15450063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298507690429688 × 2 - 1) × π
    0.402984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26601351896568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15450063} λ = -0.15450063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26601351896568))-π/2
    2×atan(3.54668554817824)-π/2
    2×1.29597716950352-π/2
    2.59195433900704-1.57079632675     		φ = 1.02115801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15450063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.852234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02115801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.508044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62313 KachelY 39126 -0.15450063 1.02115801 -8.852234 58.508044
    Oben rechts KachelX + 1 62314 KachelY 39126 -0.15445269 1.02115801 -8.849487 58.508044
    Unten links KachelX 62313 KachelY + 1 39127 -0.15450063 1.02113297 -8.852234 58.506610
    Unten rechts KachelX + 1 62314 KachelY + 1 39127 -0.15445269 1.02113297 -8.849487 58.506610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02115801-1.02113297) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dl = 159.529839999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02115801-1.02113297) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dr = 159.529839999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15450063--0.15445269) × cos(1.02115801) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522378850948217 × 6371000     		do = 159.547947111197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15450063--0.15445269) × cos(1.02113297) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522400202730827 × 6371000     		du = 159.5544684952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02115801)-sin(1.02113297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522378850948217-0.522400202730827)×R²
    abs(-0.15445269--0.15450063)×2.13517826092025e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13517826092025e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13517826092025e-05×40589641000000     		ar = 25453.1786539236m²