Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62313 / 34105
↖ ↑ ↗
← N 65.006064°
W  8.852234°		 ← 129.05 m → N 65.006064°
W  8.849487°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
N 65.004903°
W  8.852234°		 ← 129.05 m →
16 658 m²		 N 65.004903°
W  8.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475414276123047 y=0.260204315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475414276123047 × 217)
    floor (0.475414276123047 × 131072)
    floor (62313.5)     		tx = 62313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260204315185547 × 217)
    floor (0.260204315185547 × 131072)
    floor (34105.5)     		ty = 34105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62313 / 34105 ti = "17/62313/34105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62313/34105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62313 ÷ 217
    62313 ÷ 131072     		x = 0.475410461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34105 ÷ 217
    34105 ÷ 131072     		y = 0.260200500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475410461425781 × 2 - 1) × π
    -0.0491790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15450063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260200500488281 × 2 - 1) × π
    0.479598999023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.50670469195798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15450063} λ = -0.15450063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50670469195798))-π/2
    2×atan(4.51183837295811)-π/2
    2×1.3526830876388-π/2
    2.70536617527761-1.57079632675     		φ = 1.13456985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15450063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.852234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13456985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.006064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62313 KachelY 34105 -0.15450063 1.13456985 -8.852234 65.006064
    Oben rechts KachelX + 1 62314 KachelY 34105 -0.15445269 1.13456985 -8.849487 65.006064
    Unten links KachelX 62313 KachelY + 1 34106 -0.15450063 1.13454959 -8.852234 65.004903
    Unten rechts KachelX + 1 62314 KachelY + 1 34106 -0.15445269 1.13454959 -8.849487 65.004903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13456985-1.13454959) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dl = 129.07646000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13456985-1.13454959) × R
    2.02600000001052e-05 × 6371000     		dr = 129.07646000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15450063--0.15445269) × cos(1.13456985) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42252233919839 × 6371000     		do = 129.049198116189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15450063--0.15445269) × cos(1.13454959) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422540701813531 × 6371000     		du = 129.054806531507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13456985)-sin(1.13454959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42252233919839-0.422540701813531)×R²
    abs(-0.15445269--0.15450063)×1.83626151410987e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83626151410987e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83626151410987e-05×40589641000000     		ar = 16657.5756166875m²