Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62313 / 34104
↖ ↑ ↗
← N 65.007224°
W  8.852234°		 ← 129.04 m → N 65.007224°
W  8.849487°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
N 65.006064°
W  8.852234°		 ← 129.05 m →
16 649 m²		 N 65.006064°
W  8.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475414276123047 y=0.260196685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475414276123047 × 217)
    floor (0.475414276123047 × 131072)
    floor (62313.5)     		tx = 62313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260196685791016 × 217)
    floor (0.260196685791016 × 131072)
    floor (34104.5)     		ty = 34104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62313 / 34104 ti = "17/62313/34104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62313/34104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62313 ÷ 217
    62313 ÷ 131072     		x = 0.475410461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34104 ÷ 217
    34104 ÷ 131072     		y = 0.26019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475410461425781 × 2 - 1) × π
    -0.0491790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15450063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26019287109375 × 2 - 1) × π
    0.4796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5067526288576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15450063} λ = -0.15450063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5067526288576))-π/2
    2×atan(4.51205466168536)-π/2
    2×1.35269321462432-π/2
    2.70538642924864-1.57079632675     		φ = 1.13459010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15450063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.852234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13459010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.007224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62313 KachelY 34104 -0.15450063 1.13459010 -8.852234 65.007224
    Oben rechts KachelX + 1 62314 KachelY 34104 -0.15445269 1.13459010 -8.849487 65.007224
    Unten links KachelX 62313 KachelY + 1 34105 -0.15450063 1.13456985 -8.852234 65.006064
    Unten rechts KachelX + 1 62314 KachelY + 1 34105 -0.15445269 1.13456985 -8.849487 65.006064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13459010-1.13456985) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13459010-1.13456985) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15450063--0.15445269) × cos(1.13459010) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422503985473428 × 6371000     		do = 129.043592416161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15450063--0.15445269) × cos(1.13456985) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42252233919839 × 6371000     		du = 129.049198116189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13459010)-sin(1.13456985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422503985473428-0.42252233919839)×R²
    abs(-0.15445269--0.15450063)×1.83537249620058e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83537249620058e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83537249620058e-05×40589641000000     		ar = 16648.6303314309m²