Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62313 / 26119
↖ ↑ ↗
← N 72.810393°
W  8.852234°		 ← 90.26 m → N 72.810393°
W  8.849487°		 →
↑
90.28 m
↓
↑
90.28 m
↓
N 72.809581°
W  8.852234°		 ← 90.27 m →
8 149 m²		 N 72.809581°
W  8.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475414276123047 y=0.199275970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475414276123047 × 217)
    floor (0.475414276123047 × 131072)
    floor (62313.5)     		tx = 62313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199275970458984 × 217)
    floor (0.199275970458984 × 131072)
    floor (26119.5)     		ty = 26119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62313 / 26119 ti = "17/62313/26119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62313/26119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62313 ÷ 217
    62313 ÷ 131072     		x = 0.475410461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26119 ÷ 217
    26119 ÷ 131072     		y = 0.199272155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475410461425781 × 2 - 1) × π
    -0.0491790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15450063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199272155761719 × 2 - 1) × π
    0.601455688476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.88952877232375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15450063} λ = -0.15450063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88952877232375))-π/2
    2×atan(6.61625018613955)-π/2
    2×1.42078870414797-π/2
    2.84157740829594-1.57079632675     		φ = 1.27078108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15450063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.852234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27078108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.810393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62313 KachelY 26119 -0.15450063 1.27078108 -8.852234 72.810393
    Oben rechts KachelX + 1 62314 KachelY 26119 -0.15445269 1.27078108 -8.849487 72.810393
    Unten links KachelX 62313 KachelY + 1 26120 -0.15450063 1.27076691 -8.852234 72.809581
    Unten rechts KachelX + 1 62314 KachelY + 1 26120 -0.15445269 1.27076691 -8.849487 72.809581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27078108-1.27076691) × R
    1.41699999998135e-05 × 6371000     		dl = 90.2770699988118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27078108-1.27076691) × R
    1.41699999998135e-05 × 6371000     		dr = 90.2770699988118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15450063--0.15445269) × cos(1.27078108) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.295534772446497 × 6371000     		do = 90.263926570196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15450063--0.15445269) × cos(1.27076691) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.295548309471029 × 6371000     		du = 90.2680611259313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27078108)-sin(1.27076691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295534772446497-0.295548309471029)×R²
    abs(-0.15445269--0.15450063)×1.3537024532384e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.3537024532384e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3537024532384e-05×40589641000000     		ar = 8148.94944532059m²