Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62312 / 40088
↖ ↑ ↗
← N 57.100452°
W  8.854980°		 ← 165.86 m → N 57.100452°
W  8.852234°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 57.098960°
W  8.854980°		 ← 165.87 m →
27 507 m²		 N 57.098960°
W  8.852234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475406646728516 y=0.305850982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475406646728516 × 217)
    floor (0.475406646728516 × 131072)
    floor (62312.5)     		tx = 62312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305850982666016 × 217)
    floor (0.305850982666016 × 131072)
    floor (40088.5)     		ty = 40088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62312 / 40088 ti = "17/62312/40088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62312/40088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62312 ÷ 217
    62312 ÷ 131072     		x = 0.47540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40088 ÷ 217
    40088 ÷ 131072     		y = 0.30584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.0491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15454856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30584716796875 × 2 - 1) × π
    0.3883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21989822153119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15454856} λ = -0.15454856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21989822153119))-π/2
    2×atan(3.38684300838333)-π/2
    2×1.28369361005638-π/2
    2.56738722011275-1.57079632675     		φ = 0.99659089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15454856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99659089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.100452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62312 KachelY 40088 -0.15454856 0.99659089 -8.854980 57.100452
    Oben rechts KachelX + 1 62313 KachelY 40088 -0.15450063 0.99659089 -8.852234 57.100452
    Unten links KachelX 62312 KachelY + 1 40089 -0.15454856 0.99656486 -8.854980 57.098960
    Unten rechts KachelX + 1 62313 KachelY + 1 40089 -0.15450063 0.99656486 -8.852234 57.098960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99659089-0.99656486) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dl = 165.837130000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99659089-0.99656486) × R
    2.60300000000102e-05 × 6371000     		dr = 165.837130000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15454856--0.15450063) × cos(0.99659089) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.543167827758507 × 6371000     		do = 165.862830515034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15454856--0.15450063) × cos(0.99656486) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.543189682991078 × 6371000     		du = 165.869504273217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99659089)-sin(0.99656486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543167827758507-0.543189682991078)×R²
    abs(-0.15450063--0.15454856)×2.1855232570589e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1855232570589e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1855232570589e-05×40589641000000     		ar = 27506.7691662327m²