Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6231 / 6371
↖ ↑ ↗
← S 70.185103°
E 93.823242°		 ← 1 656.44 m → S 70.185103°
E 93.867187°		 →
↑
1 655.82 m
↓
↑
1 655.82 m
↓
S 70.199994°
E 93.823242°		 ← 1 655.24 m →
2 741 775 m²		 S 70.199994°
E 93.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76068115234375 y=0.77777099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76068115234375 × 213)
    floor (0.76068115234375 × 8192)
    floor (6231.5)     		tx = 6231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77777099609375 × 213)
    floor (0.77777099609375 × 8192)
    floor (6371.5)     		ty = 6371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6231 / 6371 ti = "13/6231/6371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6231/6371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6231 ÷ 213
    6231 ÷ 8192     		x = 0.7606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6371 ÷ 213
    6371 ÷ 8192     		y = 0.7777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7606201171875 × 2 - 1) × π
    0.521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63752449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74490314617004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63752449} λ = 1.63752449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74490314617004))-π/2
    2×atan(0.174661904822044)-π/2
    2×0.172917598943345-π/2
    0.34583519788669-1.57079632675     		φ = -1.22496113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63752449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.823242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22496113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.185103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6231 KachelY 6371 1.63752449 -1.22496113 93.823242 -70.185103
    Oben rechts KachelX + 1 6232 KachelY 6371 1.63829148 -1.22496113 93.867187 -70.185103
    Unten links KachelX 6231 KachelY + 1 6372 1.63752449 -1.22522103 93.823242 -70.199994
    Unten rechts KachelX + 1 6232 KachelY + 1 6372 1.63829148 -1.22522103 93.867187 -70.199994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22496113--1.22522103) × R
    0.000259899999999869 × 6371000     		dl = 1655.82289999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22496113--1.22522103) × R
    0.000259899999999869 × 6371000     		dr = 1655.82289999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63752449-1.63829148) × cos(-1.22496113) × R
    0.000766989999999801 × 0.338982542403024 × 6371000     		do = 1656.43591887909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63752449-1.63829148) × cos(-1.22522103) × R
    0.000766989999999801 × 0.3387380189437 × 6371000     		du = 1655.24105663586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22496113)-sin(-1.22522103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338982542403024-0.3387380189437)×R²
    abs(1.63829148-1.63752449)×0.000244523459323409×R²
    0.000766989999999801×0.000244523459323409×6371000²
    0.000766989999999801×0.000244523459323409×40589641000000     		ar = 2741775.30216174m²