Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6231 / 6296
↖ ↑ ↗
← S 69.037142°
E 93.823242°		 ← 1 748.20 m → S 69.037142°
E 93.867187°		 →
↑
1 747.57 m
↓
↑
1 747.57 m
↓
S 69.052858°
E 93.823242°		 ← 1 746.95 m →
3 054 009 m²		 S 69.052858°
E 93.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76068115234375 y=0.76861572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76068115234375 × 213)
    floor (0.76068115234375 × 8192)
    floor (6231.5)     		tx = 6231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76861572265625 × 213)
    floor (0.76861572265625 × 8192)
    floor (6296.5)     		ty = 6296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6231 / 6296 ti = "13/6231/6296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6231/6296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6231 ÷ 213
    6231 ÷ 8192     		x = 0.7606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6296 ÷ 213
    6296 ÷ 8192     		y = 0.7685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7606201171875 × 2 - 1) × π
    0.521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63752449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    -0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63752449} λ = 1.63752449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68737886662598))-π/2
    2×atan(0.185003808685605)-π/2
    2×0.182935448879356-π/2
    0.365870897758712-1.57079632675     		φ = -1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63752449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.823242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6231 KachelY 6296 1.63752449 -1.20492543 93.823242 -69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 6232 KachelY 6296 1.63829148 -1.20492543 93.867187 -69.037142
    Unten links KachelX 6231 KachelY + 1 6297 1.63752449 -1.20519973 93.823242 -69.052858
    Unten rechts KachelX + 1 6232 KachelY + 1 6297 1.63829148 -1.20519973 93.867187 -69.052858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20492543--1.20519973) × R
    0.000274299999999839 × 6371000     		dl = 1747.56529999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20492543--1.20519973) × R
    0.000274299999999839 × 6371000     		dr = 1747.56529999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63752449-1.63829148) × cos(-1.20492543) × R
    0.000766989999999801 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 1748.20495672089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63752449-1.63829148) × cos(-1.20519973) × R
    0.000766989999999801 × 0.357506526161724 × 6371000     		du = 1746.95324122002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20492543)-sin(-1.20519973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.357506526161724)×R²
    abs(1.63829148-1.63752449)×0.00025615823589259×R²
    0.000766989999999801×0.00025615823589259×6371000²
    0.000766989999999801×0.00025615823589259×40589641000000     		ar = 3054008.61151522m²