Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6231 / 6294
↖ ↑ ↗
← S 69.005675°
E 93.823242°		 ← 1 750.71 m → S 69.005675°
E 93.867187°		 →
↑
1 750.11 m
↓
↑
1 750.11 m
↓
S 69.021414°
E 93.823242°		 ← 1 749.46 m →
3 062 846 m²		 S 69.021414°
E 93.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76068115234375 y=0.76837158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76068115234375 × 213)
    floor (0.76068115234375 × 8192)
    floor (6231.5)     		tx = 6231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76837158203125 × 213)
    floor (0.76837158203125 × 8192)
    floor (6294.5)     		ty = 6294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6231 / 6294 ti = "13/6231/6294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6231/6294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6231 ÷ 213
    6231 ÷ 8192     		x = 0.7606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6294 ÷ 213
    6294 ÷ 8192     		y = 0.768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7606201171875 × 2 - 1) × π
    0.521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63752449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.53662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68584488583813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63752449} λ = 1.63752449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68584488583813))-π/2
    2×atan(0.185287818751106)-π/2
    2×0.183210046034955-π/2
    0.366420092069911-1.57079632675     		φ = -1.20437623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63752449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.823242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20437623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.005675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6231 KachelY 6294 1.63752449 -1.20437623 93.823242 -69.005675
    Oben rechts KachelX + 1 6232 KachelY 6294 1.63829148 -1.20437623 93.867187 -69.005675
    Unten links KachelX 6231 KachelY + 1 6295 1.63752449 -1.20465093 93.823242 -69.021414
    Unten rechts KachelX + 1 6232 KachelY + 1 6295 1.63829148 -1.20465093 93.867187 -69.021414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20437623--1.20465093) × R
    0.00027469999999985 × 6371000     		dl = 1750.11369999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20437623--1.20465093) × R
    0.00027469999999985 × 6371000     		dr = 1750.11369999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63752449-1.63829148) × cos(-1.20437623) × R
    0.000766989999999801 × 0.358275480265027 × 6371000     		do = 1750.71073028613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63752449-1.63829148) × cos(-1.20465093) × R
    0.000766989999999801 × 0.358019002458138 × 6371000     		du = 1749.45745320373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20437623)-sin(-1.20465093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358275480265027-0.358019002458138)×R²
    abs(1.63829148-1.63752449)×0.000256477806889643×R²
    0.000766989999999801×0.000256477806889643×6371000²
    0.000766989999999801×0.000256477806889643×40589641000000     		ar = 3062846.16437269m²