Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6231 / 10550
↖ ↑ ↗
← S 45.920587°
W 43.088379°		 ← 1 699.63 m → S 45.920587°
W 43.066406°		 →
↑
1 699.46 m
↓
↑
1 699.46 m
↓
S 45.935871°
W 43.088379°		 ← 1 699.17 m →
2 888 069 m²		 S 45.935871°
W 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380340576171875 y=0.643951416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380340576171875 × 214)
    floor (0.380340576171875 × 16384)
    floor (6231.5)     		tx = 6231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643951416015625 × 214)
    floor (0.643951416015625 × 16384)
    floor (10550.5)     		ty = 10550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6231 / 10550 ti = "14/6231/10550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6231/10550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6231 ÷ 214
    6231 ÷ 16384     		x = 0.38031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10550 ÷ 214
    10550 ÷ 16384     		y = 0.6439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.2393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75203408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.287841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.904281674432739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75203408} λ = -0.75203408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904281674432739))-π/2
    2×atan(0.404832582277223)-π/2
    2×0.384665441598817-π/2
    0.769330883197634-1.57079632675     		φ = -0.80146544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75203408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.088379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80146544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.920587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6231 KachelY 10550 -0.75203408 -0.80146544 -43.088379 -45.920587
    Oben rechts KachelX + 1 6232 KachelY 10550 -0.75165059 -0.80146544 -43.066406 -45.920587
    Unten links KachelX 6231 KachelY + 1 10551 -0.75203408 -0.80173219 -43.088379 -45.935871
    Unten rechts KachelX + 1 6232 KachelY + 1 10551 -0.75165059 -0.80173219 -43.066406 -45.935871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80146544--0.80173219) × R
    0.000266749999999982 × 6371000     		dl = 1699.46424999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80146544--0.80173219) × R
    0.000266749999999982 × 6371000     		dr = 1699.46424999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75203408--0.75165059) × cos(-0.80146544) × R
    0.000383490000000042 × 0.695654719319868 × 6371000     		do = 1699.63389897579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75203408--0.75165059) × cos(-0.80173219) × R
    0.000383490000000042 × 0.695463067693691 × 6371000     		du = 1699.16565288818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80146544)-sin(-0.80173219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695654719319868-0.695463067693691)×R²
    abs(-0.75165059--0.75203408)×0.000191651626176736×R²
    0.000383490000000042×0.000191651626176736×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191651626176736×40589641000000     		ar = 2888069.18277916m²