Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62309 / 13517
↖ ↑ ↗
← N 72.051919°
E162.273559°		 ← 188.24 m → N 72.051919°
E162.279053°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 72.050226°
E162.273559°		 ← 188.25 m →
35 440 m²		 N 72.050226°
E162.279053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950767517089844 y=0.206260681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950767517089844 × 216)
    floor (0.950767517089844 × 65536)
    floor (62309.5)     		tx = 62309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206260681152344 × 216)
    floor (0.206260681152344 × 65536)
    floor (13517.5)     		ty = 13517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62309 / 13517 ti = "16/62309/13517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62309/13517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62309 ÷ 216
    62309 ÷ 65536     		x = 0.950759887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13517 ÷ 216
    13517 ÷ 65536     		y = 0.206253051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950759887695312 × 2 - 1) × π
    0.901519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.83220790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206253051757812 × 2 - 1) × π
    0.587493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8456665091714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83220790} λ = 2.83220790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8456665091714))-π/2
    2×atan(6.33231893284229)-π/2
    2×1.41416977134978-π/2
    2.82833954269956-1.57079632675     		φ = 1.25754322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83220790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.273559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25754322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.051919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62309 KachelY 13517 2.83220790 1.25754322 162.273559 72.051919
    Oben rechts KachelX + 1 62310 KachelY 13517 2.83230378 1.25754322 162.279053 72.051919
    Unten links KachelX 62309 KachelY + 1 13518 2.83220790 1.25751367 162.273559 72.050226
    Unten rechts KachelX + 1 62310 KachelY + 1 13518 2.83230378 1.25751367 162.279053 72.050226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25754322-1.25751367) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25754322-1.25751367) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83220790-2.83230378) × cos(1.25754322) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.308155059615197 × 6371000     		do = 188.236974236179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83220790-2.83230378) × cos(1.25751367) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.308183171463712 × 6371000     		du = 188.254146400451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25754322)-sin(1.25751367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308155059615197-0.308183171463712)×R²
    abs(2.83230378-2.83220790)×2.8111848515755e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.8111848515755e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.8111848515755e-05×40589641000000     		ar = 35439.6833370275m²