Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62308 / 25924
↖ ↑ ↗
← N 72.967971°
W  8.865967°		 ← 89.44 m → N 72.967971°
W  8.863220°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 72.967167°
W  8.865967°		 ← 89.45 m →
8 001 m²		 N 72.967167°
W  8.863220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475376129150391 y=0.197788238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475376129150391 × 217)
    floor (0.475376129150391 × 131072)
    floor (62308.5)     		tx = 62308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197788238525391 × 217)
    floor (0.197788238525391 × 131072)
    floor (25924.5)     		ty = 25924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62308 / 25924 ti = "17/62308/25924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62308/25924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62308 ÷ 217
    62308 ÷ 131072     		x = 0.475372314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25924 ÷ 217
    25924 ÷ 131072     		y = 0.197784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475372314453125 × 2 - 1) × π
    -0.04925537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15474031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197784423828125 × 2 - 1) × π
    0.60443115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89887646774966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15474031} λ = -0.15474031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89887646774966))-π/2
    2×atan(6.67838684255599)-π/2
    2×1.4221638377016-π/2
    2.84432767540321-1.57079632675     		φ = 1.27353135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15474031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.865967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27353135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.967971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62308 KachelY 25924 -0.15474031 1.27353135 -8.865967 72.967971
    Oben rechts KachelX + 1 62309 KachelY 25924 -0.15469238 1.27353135 -8.863220 72.967971
    Unten links KachelX 62308 KachelY + 1 25925 -0.15474031 1.27351731 -8.865967 72.967167
    Unten rechts KachelX + 1 62309 KachelY + 1 25925 -0.15469238 1.27351731 -8.863220 72.967167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27353135-1.27351731) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dl = 89.4488400010161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27353135-1.27351731) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dr = 89.4488400010161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15474031--0.15469238) × cos(1.27353135) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.29290623715554 × 6371000     		do = 89.4424431774802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15474031--0.15469238) × cos(1.27351731) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.292919661348692 × 6371000     		du = 89.4465424163522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27353135)-sin(1.27351731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29290623715554-0.292919661348692)×R²
    abs(-0.15469238--0.15474031)×1.3424193152034e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.3424193152034e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.3424193152034e-05×40589641000000     		ar = 8000.70612532405m²