Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62307 / 39611
↖ ↑ ↗
← N 57.805262°
W  8.868713°		 ← 162.73 m → N 57.805262°
W  8.865967°		 →
↑
162.72 m
↓
↑
162.72 m
↓
N 57.803798°
W  8.868713°		 ← 162.74 m →
26 479 m²		 N 57.803798°
W  8.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475368499755859 y=0.302211761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475368499755859 × 217)
    floor (0.475368499755859 × 131072)
    floor (62307.5)     		tx = 62307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302211761474609 × 217)
    floor (0.302211761474609 × 131072)
    floor (39611.5)     		ty = 39611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62307 / 39611 ti = "17/62307/39611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62307/39611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62307 ÷ 217
    62307 ÷ 131072     		x = 0.475364685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39611 ÷ 217
    39611 ÷ 131072     		y = 0.302207946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475364685058594 × 2 - 1) × π
    -0.0492706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15478825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302207946777344 × 2 - 1) × π
    0.395584106445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.24276412264996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15478825} λ = -0.15478825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24276412264996))-π/2
    2×atan(3.46517841747135)-π/2
    2×1.28984423248037-π/2
    2.57968846496073-1.57079632675     		φ = 1.00889214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15478825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.868713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00889214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.805262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62307 KachelY 39611 -0.15478825 1.00889214 -8.868713 57.805262
    Oben rechts KachelX + 1 62308 KachelY 39611 -0.15474031 1.00889214 -8.865967 57.805262
    Unten links KachelX 62307 KachelY + 1 39612 -0.15478825 1.00886660 -8.868713 57.803798
    Unten rechts KachelX + 1 62308 KachelY + 1 39612 -0.15474031 1.00886660 -8.865967 57.803798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00889214-1.00886660) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dl = 162.71533999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00889214-1.00886660) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dr = 162.71533999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15478825--0.15474031) × cos(1.00889214) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532798565919223 × 6371000     		do = 162.730396266805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15478825--0.15474031) × cos(1.00886660) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532820178768629 × 6371000     		du = 162.736997387328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00889214)-sin(1.00886660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532798565919223-0.532820178768629)×R²
    abs(-0.15474031--0.15478825)×2.16128494063828e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16128494063828e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16128494063828e-05×40589641000000     		ar = 26479.2688101015m²