Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62306 / 40297
↖ ↑ ↗
← N 56.787341°
W  8.871460°		 ← 167.30 m → N 56.787341°
W  8.868713°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
N 56.785836°
W  8.871460°		 ← 167.30 m →
27 990 m²		 N 56.785836°
W  8.868713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475360870361328 y=0.307445526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475360870361328 × 217)
    floor (0.475360870361328 × 131072)
    floor (62306.5)     		tx = 62306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307445526123047 × 217)
    floor (0.307445526123047 × 131072)
    floor (40297.5)     		ty = 40297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62306 / 40297 ti = "17/62306/40297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62306/40297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62306 ÷ 217
    62306 ÷ 131072     		x = 0.475357055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40297 ÷ 217
    40297 ÷ 131072     		y = 0.307441711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475357055664062 × 2 - 1) × π
    -0.049285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15483619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307441711425781 × 2 - 1) × π
    0.385116577148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.2098794095106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15483619} λ = -0.15483619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2098794095106))-π/2
    2×atan(3.35308027857589)-π/2
    2×1.28096119894572-π/2
    2.56192239789145-1.57079632675     		φ = 0.99112607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15483619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.871460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99112607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.787341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62306 KachelY 40297 -0.15483619 0.99112607 -8.871460 56.787341
    Oben rechts KachelX + 1 62307 KachelY 40297 -0.15478825 0.99112607 -8.868713 56.787341
    Unten links KachelX 62306 KachelY + 1 40298 -0.15483619 0.99109981 -8.871460 56.785836
    Unten rechts KachelX + 1 62307 KachelY + 1 40298 -0.15478825 0.99109981 -8.868713 56.785836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99112607-0.99109981) × R
    2.62599999999447e-05 × 6371000     		dl = 167.302459999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99112607-0.99109981) × R
    2.62599999999447e-05 × 6371000     		dr = 167.302459999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15483619--0.15478825) × cos(0.99112607) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547748089128259 × 6371000     		do = 167.296365455669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15483619--0.15478825) × cos(0.99109981) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.547770059192759 × 6371000     		du = 167.303075678876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99112607)-sin(0.99109981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547748089128259-0.547770059192759)×R²
    abs(-0.15478825--0.15483619)×2.19700645001097e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19700645001097e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19700645001097e-05×40589641000000     		ar = 27989.6548097631m²