Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62306 / 39585
↖ ↑ ↗
← N 57.843289°
W  8.871460°		 ← 162.56 m → N 57.843289°
W  8.868713°		 →
↑
162.59 m
↓
↑
162.59 m
↓
N 57.841827°
W  8.871460°		 ← 162.57 m →
26 431 m²		 N 57.841827°
W  8.868713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475360870361328 y=0.302013397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475360870361328 × 217)
    floor (0.475360870361328 × 131072)
    floor (62306.5)     		tx = 62306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302013397216797 × 217)
    floor (0.302013397216797 × 131072)
    floor (39585.5)     		ty = 39585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62306 / 39585 ti = "17/62306/39585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62306/39585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62306 ÷ 217
    62306 ÷ 131072     		x = 0.475357055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39585 ÷ 217
    39585 ÷ 131072     		y = 0.302009582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475357055664062 × 2 - 1) × π
    -0.049285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15483619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302009582519531 × 2 - 1) × π
    0.395980834960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.24401048204008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15483619} λ = -0.15483619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24401048204008))-π/2
    2×atan(3.46949996767332)-π/2
    2×1.2901760866671-π/2
    2.58035217333421-1.57079632675     		φ = 1.00955585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15483619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.871460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00955585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.843289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62306 KachelY 39585 -0.15483619 1.00955585 -8.871460 57.843289
    Oben rechts KachelX + 1 62307 KachelY 39585 -0.15478825 1.00955585 -8.868713 57.843289
    Unten links KachelX 62306 KachelY + 1 39586 -0.15483619 1.00953033 -8.871460 57.841827
    Unten rechts KachelX + 1 62307 KachelY + 1 39586 -0.15478825 1.00953033 -8.868713 57.841827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00955585-1.00953033) × R
    2.55199999998901e-05 × 6371000     		dl = 162.5879199993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00955585-1.00953033) × R
    2.55199999998901e-05 × 6371000     		dr = 162.5879199993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15483619--0.15478825) × cos(1.00955585) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.532236789265902 × 6371000     		do = 162.558815216844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15483619--0.15478825) × cos(1.00953033) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.532258394210642 × 6371000     		du = 162.565413923079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00955585)-sin(1.00953033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532236789265902-0.532258394210642)×R²
    abs(-0.15478825--0.15483619)×2.16049447397948e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16049447397948e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16049447397948e-05×40589641000000     		ar = 26430.6360800019m²