Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62305 / 34563
↖ ↑ ↗
← N 64.469243°
W  8.874206°		 ← 131.61 m → N 64.469243°
W  8.871460°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
N 64.468059°
W  8.874206°		 ← 131.62 m →
17 323 m²		 N 64.468059°
W  8.871460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475353240966797 y=0.263698577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475353240966797 × 217)
    floor (0.475353240966797 × 131072)
    floor (62305.5)     		tx = 62305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263698577880859 × 217)
    floor (0.263698577880859 × 131072)
    floor (34563.5)     		ty = 34563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62305 / 34563 ti = "17/62305/34563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62305/34563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62305 ÷ 217
    62305 ÷ 131072     		x = 0.475349426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34563 ÷ 217
    34563 ÷ 131072     		y = 0.263694763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475349426269531 × 2 - 1) × π
    -0.0493011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15488412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263694763183594 × 2 - 1) × π
    0.472610473632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.484749591932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15488412} λ = -0.15488412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.484749591932))-π/2
    2×atan(4.41386000822616)-π/2
    2×1.34799843957292-π/2
    2.69599687914583-1.57079632675     		φ = 1.12520055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15488412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.874206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12520055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.469243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62305 KachelY 34563 -0.15488412 1.12520055 -8.874206 64.469243
    Oben rechts KachelX + 1 62306 KachelY 34563 -0.15483619 1.12520055 -8.871460 64.469243
    Unten links KachelX 62305 KachelY + 1 34564 -0.15488412 1.12517989 -8.874206 64.468059
    Unten rechts KachelX + 1 62306 KachelY + 1 34564 -0.15483619 1.12517989 -8.871460 64.468059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12520055-1.12517989) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dl = 131.624859999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12520055-1.12517989) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dr = 131.624859999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15488412--0.15483619) × cos(1.12520055) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.430995558362858 × 6371000     		do = 131.609678622594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15488412--0.15483619) × cos(1.12517989) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.431014200905514 × 6371000     		du = 131.615371347264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12520055)-sin(1.12517989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430995558362858-0.431014200905514)×R²
    abs(-0.15483619--0.15488412)×1.86425426564885e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.86425426564885e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.86425426564885e-05×40589641000000     		ar = 17323.4801758561m²