Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62304 / 39587
↖ ↑ ↗
← N 57.840366°
W  8.876953°		 ← 162.57 m → N 57.840366°
W  8.874206°		 →
↑
162.59 m
↓
↑
162.59 m
↓
N 57.838903°
W  8.876953°		 ← 162.58 m →
26 433 m²		 N 57.838903°
W  8.874206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475345611572266 y=0.302028656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475345611572266 × 217)
    floor (0.475345611572266 × 131072)
    floor (62304.5)     		tx = 62304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302028656005859 × 217)
    floor (0.302028656005859 × 131072)
    floor (39587.5)     		ty = 39587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62304 / 39587 ti = "17/62304/39587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62304/39587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62304 ÷ 217
    62304 ÷ 131072     		x = 0.475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39587 ÷ 217
    39587 ÷ 131072     		y = 0.302024841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302024841308594 × 2 - 1) × π
    0.395950317382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.24391460824084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15493206} λ = -0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24391460824084))-π/2
    2×atan(3.46916734947489)-π/2
    2×1.29015057184998-π/2
    2.58030114369995-1.57079632675     		φ = 1.00950482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00950482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.840366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62304 KachelY 39587 -0.15493206 1.00950482 -8.876953 57.840366
    Oben rechts KachelX + 1 62305 KachelY 39587 -0.15488412 1.00950482 -8.874206 57.840366
    Unten links KachelX 62304 KachelY + 1 39588 -0.15493206 1.00947930 -8.876953 57.838903
    Unten rechts KachelX + 1 62305 KachelY + 1 39588 -0.15488412 1.00947930 -8.874206 57.838903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00950482-1.00947930) × R
    2.55200000001121e-05 × 6371000     		dl = 162.587920000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00950482-1.00947930) × R
    2.55200000001121e-05 × 6371000     		dr = 162.587920000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15493206--0.15488412) × cos(1.00950482) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.532279990343054 × 6371000     		do = 162.572009937802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15493206--0.15488412) × cos(1.00947930) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.532301594594627 × 6371000     		du = 162.578608432326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00950482)-sin(1.00947930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532279990343054-0.532301594594627)×R²
    abs(-0.15488412--0.15493206)×2.16042515734927e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16042515734927e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16042515734927e-05×40589641000000     		ar = 26432.7813652749m²