Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62303 / 39590
↖ ↑ ↗
← N 57.835979°
W  8.879700°		 ← 162.59 m → N 57.835979°
W  8.876953°		 →
↑
162.52 m
↓
↑
162.52 m
↓
N 57.834517°
W  8.879700°		 ← 162.60 m →
26 426 m²		 N 57.834517°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475337982177734 y=0.302051544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475337982177734 × 217)
    floor (0.475337982177734 × 131072)
    floor (62303.5)     		tx = 62303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302051544189453 × 217)
    floor (0.302051544189453 × 131072)
    floor (39590.5)     		ty = 39590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62303 / 39590 ti = "17/62303/39590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62303/39590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62303 ÷ 217
    62303 ÷ 131072     		x = 0.475334167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39590 ÷ 217
    39590 ÷ 131072     		y = 0.302047729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475334167480469 × 2 - 1) × π
    -0.0493316650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15498000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302047729492188 × 2 - 1) × π
    0.395904541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24377079754198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15498000} λ = -0.15498000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24377079754198))-π/2
    2×atan(3.468668481966)-π/2
    2×1.2901122957412-π/2
    2.5802245914824-1.57079632675     		φ = 1.00942826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15498000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.879700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00942826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.835979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62303 KachelY 39590 -0.15498000 1.00942826 -8.879700 57.835979
    Oben rechts KachelX + 1 62304 KachelY 39590 -0.15493206 1.00942826 -8.876953 57.835979
    Unten links KachelX 62303 KachelY + 1 39591 -0.15498000 1.00940275 -8.879700 57.834517
    Unten rechts KachelX + 1 62304 KachelY + 1 39591 -0.15493206 1.00940275 -8.876953 57.834517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00942826-1.00940275) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dl = 162.524209999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00942826-1.00940275) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dr = 162.524209999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15498000--0.15493206) × cos(1.00942826) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532344802057743 × 6371000     		do = 162.591805103627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15498000--0.15493206) × cos(1.00940275) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532366396804117 × 6371000     		du = 162.598400695019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00942826)-sin(1.00940275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532344802057743-0.532366396804117)×R²
    abs(-0.15493206--0.15498000)×2.15947463738653e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15947463738653e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15947463738653e-05×40589641000000     		ar = 26425.6406500725m²