Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62302 / 39107
↖ ↑ ↗
← N 58.535294°
W  8.882446°		 ← 159.39 m → N 58.535294°
W  8.879700°		 →
↑
159.40 m
↓
↑
159.40 m
↓
N 58.533861°
W  8.882446°		 ← 159.40 m →
25 408 m²		 N 58.533861°
W  8.879700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475330352783203 y=0.298366546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475330352783203 × 217)
    floor (0.475330352783203 × 131072)
    floor (62302.5)     		tx = 62302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298366546630859 × 217)
    floor (0.298366546630859 × 131072)
    floor (39107.5)     		ty = 39107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62302 / 39107 ti = "17/62302/39107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62302/39107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62302 ÷ 217
    62302 ÷ 131072     		x = 0.475326538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39107 ÷ 217
    39107 ÷ 131072     		y = 0.298362731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475326538085938 × 2 - 1) × π
    -0.049346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15502793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298362731933594 × 2 - 1) × π
    0.403274536132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.26692432005846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15502793} λ = -0.15502793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26692432005846))-π/2
    2×atan(3.5499173447898)-π/2
    2×1.2962149687522-π/2
    2.59242993750441-1.57079632675     		φ = 1.02163361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15502793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.882446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02163361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.535294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62302 KachelY 39107 -0.15502793 1.02163361 -8.882446 58.535294
    Oben rechts KachelX + 1 62303 KachelY 39107 -0.15498000 1.02163361 -8.879700 58.535294
    Unten links KachelX 62302 KachelY + 1 39108 -0.15502793 1.02160859 -8.882446 58.533861
    Unten rechts KachelX + 1 62303 KachelY + 1 39108 -0.15498000 1.02160859 -8.879700 58.533861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02163361-1.02160859) × R
    2.50200000000422e-05 × 6371000     		dl = 159.402420000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02163361-1.02160859) × R
    2.50200000000422e-05 × 6371000     		dr = 159.402420000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15502793--0.15498000) × cos(1.02163361) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521973241336657 × 6371000     		do = 159.390808580247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15502793--0.15498000) × cos(1.02160859) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521994582279025 × 6371000     		du = 159.39732529373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02163361)-sin(1.02160859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521973241336657-0.521994582279025)×R²
    abs(-0.15498000--0.15502793)×2.13409423677202e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13409423677202e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13409423677202e-05×40589641000000     		ar = 25407.8000047829m²