Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62302 / 34178
↖ ↑ ↗
← N 64.921214°
W  8.882446°		 ← 129.43 m → N 64.921214°
W  8.879700°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 64.920049°
W  8.882446°		 ← 129.44 m →
16 756 m²		 N 64.920049°
W  8.879700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475330352783203 y=0.260761260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475330352783203 × 217)
    floor (0.475330352783203 × 131072)
    floor (62302.5)     		tx = 62302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260761260986328 × 217)
    floor (0.260761260986328 × 131072)
    floor (34178.5)     		ty = 34178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62302 / 34178 ti = "17/62302/34178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62302/34178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62302 ÷ 217
    62302 ÷ 131072     		x = 0.475326538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34178 ÷ 217
    34178 ÷ 131072     		y = 0.260757446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475326538085938 × 2 - 1) × π
    -0.049346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15502793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260757446289062 × 2 - 1) × π
    0.478485107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50320529828572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15502793} λ = -0.15502793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50320529828572))-π/2
    2×atan(4.49607726754566)-π/2
    2×1.3519426282754-π/2
    2.70388525655079-1.57079632675     		φ = 1.13308893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15502793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.882446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13308893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.921214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62302 KachelY 34178 -0.15502793 1.13308893 -8.882446 64.921214
    Oben rechts KachelX + 1 62303 KachelY 34178 -0.15498000 1.13308893 -8.879700 64.921214
    Unten links KachelX 62302 KachelY + 1 34179 -0.15502793 1.13306861 -8.882446 64.920049
    Unten rechts KachelX + 1 62303 KachelY + 1 34179 -0.15498000 1.13306861 -8.879700 64.920049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13308893-1.13306861) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13308893-1.13306861) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15502793--0.15498000) × cos(1.13308893) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423864110945423 × 6371000     		do = 129.432005362444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15502793--0.15498000) × cos(1.13306861) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423882515206065 × 6371000     		du = 129.437625324834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13308893)-sin(1.13306861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423864110945423-0.423882515206065)×R²
    abs(-0.15498000--0.15502793)×1.8404260642757e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.8404260642757e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.8404260642757e-05×40589641000000     		ar = 16756.4655183652m²