Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62301 / 39109
↖ ↑ ↗
← N 58.532427°
W  8.885193°		 ← 159.44 m → N 58.532427°
W  8.882446°		 →
↑
159.47 m
↓
↑
159.47 m
↓
N 58.530993°
W  8.885193°		 ← 159.44 m →
25 425 m²		 N 58.530993°
W  8.882446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475322723388672 y=0.298381805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475322723388672 × 217)
    floor (0.475322723388672 × 131072)
    floor (62301.5)     		tx = 62301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298381805419922 × 217)
    floor (0.298381805419922 × 131072)
    floor (39109.5)     		ty = 39109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62301 / 39109 ti = "17/62301/39109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62301/39109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62301 ÷ 217
    62301 ÷ 131072     		x = 0.475318908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39109 ÷ 217
    39109 ÷ 131072     		y = 0.298377990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475318908691406 × 2 - 1) × π
    -0.0493621826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15507587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298377990722656 × 2 - 1) × π
    0.403244018554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.26682844625922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15507587} λ = -0.15507587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26682844625922))-π/2
    2×atan(3.54957701704148)-π/2
    2×1.29618994595024-π/2
    2.59237989190048-1.57079632675     		φ = 1.02158357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15507587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.885193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02158357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.532427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62301 KachelY 39109 -0.15507587 1.02158357 -8.885193 58.532427
    Oben rechts KachelX + 1 62302 KachelY 39109 -0.15502793 1.02158357 -8.882446 58.532427
    Unten links KachelX 62301 KachelY + 1 39110 -0.15507587 1.02155854 -8.885193 58.530993
    Unten rechts KachelX + 1 62302 KachelY + 1 39110 -0.15502793 1.02155854 -8.882446 58.530993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02158357-1.02155854) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dl = 159.466129999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02158357-1.02155854) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dr = 159.466129999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15507587--0.15502793) × cos(1.02158357) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522015922894624 × 6371000     		do = 159.437099541861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15507587--0.15502793) × cos(1.02155854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522037271712667 × 6371000     		du = 159.44362002041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02158357)-sin(1.02155854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522015922894624-0.522037271712667)×R²
    abs(-0.15502793--0.15507587)×2.13488180434984e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13488180434984e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13488180434984e-05×40589641000000     		ar = 25425.3371413897m²