Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62300 / 39114
↖ ↑ ↗
← N 58.525257°
W  8.887940°		 ← 159.47 m → N 58.525257°
W  8.885193°		 →
↑
159.47 m
↓
↑
159.47 m
↓
N 58.523823°
W  8.887940°		 ← 159.48 m →
25 431 m²		 N 58.523823°
W  8.885193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475315093994141 y=0.298419952392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475315093994141 × 217)
    floor (0.475315093994141 × 131072)
    floor (62300.5)     		tx = 62300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298419952392578 × 217)
    floor (0.298419952392578 × 131072)
    floor (39114.5)     		ty = 39114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62300 / 39114 ti = "17/62300/39114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62300/39114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62300 ÷ 217
    62300 ÷ 131072     		x = 0.475311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39114 ÷ 217
    39114 ÷ 131072     		y = 0.298416137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.04937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15512381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298416137695312 × 2 - 1) × π
    0.403167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26658876176112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15512381} λ = -0.15512381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26658876176112))-π/2
    2×atan(3.54872634040676)-π/2
    2×1.29612737999253-π/2
    2.59225475998506-1.57079632675     		φ = 1.02145843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15512381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.887940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02145843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.525257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62300 KachelY 39114 -0.15512381 1.02145843 -8.887940 58.525257
    Oben rechts KachelX + 1 62301 KachelY 39114 -0.15507587 1.02145843 -8.885193 58.525257
    Unten links KachelX 62300 KachelY + 1 39115 -0.15512381 1.02143340 -8.887940 58.523823
    Unten rechts KachelX + 1 62301 KachelY + 1 39115 -0.15507587 1.02143340 -8.885193 58.523823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02145843-1.02143340) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dl = 159.466129999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02145843-1.02143340) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dr = 159.466129999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15512381--0.15507587) × cos(1.02145843) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522122655185435 × 6371000     		do = 159.469698330764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15512381--0.15507587) × cos(1.02143340) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522144002368191 × 6371000     		du = 159.476218309854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02145843)-sin(1.02143340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522122655185435-0.522144002368191)×R²
    abs(-0.15507587--0.15512381)×2.13471827563705e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13471827563705e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13471827563705e-05×40589641000000     		ar = 25430.5355041266m²