Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6230 / 6092
↖ ↑ ↗
← S 65.585720°
E 93.779297°		 ← 2 019.74 m → S 65.585720°
E 93.823242°		 →
↑
2 019.03 m
↓
↑
2 019.03 m
↓
S 65.603878°
E 93.779297°		 ← 2 018.33 m →
4 076 501 m²		 S 65.603878°
E 93.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76055908203125 y=0.74371337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76055908203125 × 213)
    floor (0.76055908203125 × 8192)
    floor (6230.5)     		tx = 6230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74371337890625 × 213)
    floor (0.74371337890625 × 8192)
    floor (6092.5)     		ty = 6092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6230 / 6092 ti = "13/6230/6092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6230/6092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6230 ÷ 213
    6230 ÷ 8192     		x = 0.760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6092 ÷ 213
    6092 ÷ 8192     		y = 0.74365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760498046875 × 2 - 1) × π
    0.52099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63675750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74365234375 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53091282626611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63675750} λ = 1.63675750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53091282626611))-π/2
    2×atan(0.216338098058253)-π/2
    2×0.213054785057659-π/2
    0.426109570115318-1.57079632675     		φ = -1.14468676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63675750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.779297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14468676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.585720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6230 KachelY 6092 1.63675750 -1.14468676 93.779297 -65.585720
    Oben rechts KachelX + 1 6231 KachelY 6092 1.63752449 -1.14468676 93.823242 -65.585720
    Unten links KachelX 6230 KachelY + 1 6093 1.63675750 -1.14500367 93.779297 -65.603878
    Unten rechts KachelX + 1 6231 KachelY + 1 6093 1.63752449 -1.14500367 93.823242 -65.603878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14468676--1.14500367) × R
    0.000316910000000004 × 6371000     		dl = 2019.03361000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14468676--1.14500367) × R
    0.000316910000000004 × 6371000     		dr = 2019.03361000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63675750-1.63752449) × cos(-1.14468676) × R
    0.000766990000000023 × 0.413331386050995 × 6371000     		do = 2019.74104448465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63675750-1.63752449) × cos(-1.14500367) × R
    0.000766990000000023 × 0.413042793178339 × 6371000     		du = 2018.33083734887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14468676)-sin(-1.14500367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413331386050995-0.413042793178339)×R²
    abs(1.63752449-1.63675750)×0.00028859287265609×R²
    0.000766990000000023×0.00028859287265609×6371000²
    0.000766990000000023×0.00028859287265609×40589641000000     		ar = 4076501.45862766m²