Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6230 / 14354
↖ ↑ ↗
← N 21.759500°
W111.555175°		 ← 1 134.54 m → N 21.759500°
W111.544190°		 →
↑
1 134.61 m
↓
↑
1 134.61 m
↓
N 21.749296°
W111.555175°		 ← 1 134.62 m →
1 287 303 m²		 N 21.749296°
W111.544190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190139770507812 y=0.438064575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190139770507812 × 215)
    floor (0.190139770507812 × 32768)
    floor (6230.5)     		tx = 6230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438064575195312 × 215)
    floor (0.438064575195312 × 32768)
    floor (14354.5)     		ty = 14354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6230 / 14354 ti = "15/6230/14354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6230/14354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6230 ÷ 215
    6230 ÷ 32768     		x = 0.19012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14354 ÷ 215
    14354 ÷ 32768     		y = 0.43804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.6197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.94700511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43804931640625 × 2 - 1) × π
    0.1239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.389247624914856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94700511} λ = -1.94700511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389247624914856))-π/2
    2×atan(1.47586996826325)-π/2
    2×0.975285620336222-π/2
    1.95057124067244-1.57079632675     		φ = 0.37977491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94700511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.555175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37977491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.759500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6230 KachelY 14354 -1.94700511 0.37977491 -111.555175 21.759500
    Oben rechts KachelX + 1 6231 KachelY 14354 -1.94681337 0.37977491 -111.544190 21.759500
    Unten links KachelX 6230 KachelY + 1 14355 -1.94700511 0.37959682 -111.555175 21.749296
    Unten rechts KachelX + 1 6231 KachelY + 1 14355 -1.94681337 0.37959682 -111.544190 21.749296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37977491-0.37959682) × R
    0.00017809000000002 × 6371000     		dl = 1134.61139000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37977491-0.37959682) × R
    0.00017809000000002 × 6371000     		dr = 1134.61139000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94700511--1.94681337) × cos(0.37977491) × R
    0.000191739999999996 × 0.928748102538633 × 6371000     		do = 1134.53596488258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94700511--1.94681337) × cos(0.37959682) × R
    0.000191739999999996 × 0.92881410780819 × 6371000     		du = 1134.61659530538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37977491)-sin(0.37959682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928748102538633-0.92881410780819)×R²
    abs(-1.94681337--1.94700511)×6.60052695571345e-05×R²
    0.000191739999999996×6.60052695571345e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.60052695571345e-05×40589641000000     		ar = 1287303.17362086m²