Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62298 / 35106
↖ ↑ ↗
← N 63.818864°
W  8.893433°		 ← 134.76 m → N 63.818864°
W  8.890686°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
N 63.817652°
W  8.893433°		 ← 134.76 m →
18 158 m²		 N 63.817652°
W  8.890686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475299835205078 y=0.267841339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475299835205078 × 217)
    floor (0.475299835205078 × 131072)
    floor (62298.5)     		tx = 62298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267841339111328 × 217)
    floor (0.267841339111328 × 131072)
    floor (35106.5)     		ty = 35106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62298 / 35106 ti = "17/62298/35106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62298/35106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62298 ÷ 217
    62298 ÷ 131072     		x = 0.475296020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35106 ÷ 217
    35106 ÷ 131072     		y = 0.267837524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475296020507812 × 2 - 1) × π
    -0.049407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15521968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267837524414062 × 2 - 1) × π
    0.464324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45871985543831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15521968} λ = -0.15521968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45871985543831))-π/2
    2×atan(4.30045080440592)-π/2
    2×1.34232281523898-π/2
    2.68464563047797-1.57079632675     		φ = 1.11384930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15521968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.893433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11384930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.818864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62298 KachelY 35106 -0.15521968 1.11384930 -8.893433 63.818864
    Oben rechts KachelX + 1 62299 KachelY 35106 -0.15517174 1.11384930 -8.890686 63.818864
    Unten links KachelX 62298 KachelY + 1 35107 -0.15521968 1.11382815 -8.893433 63.817652
    Unten rechts KachelX + 1 62299 KachelY + 1 35107 -0.15517174 1.11382815 -8.890686 63.817652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11384930-1.11382815) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11384930-1.11382815) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15521968--0.15517174) × cos(1.11384930) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441210418010005 × 6371000     		do = 134.757018416405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15521968--0.15517174) × cos(1.11382815) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.44122939799918 × 6371000     		du = 134.762815393644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11384930)-sin(1.11382815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441210418010005-0.44122939799918)×R²
    abs(-0.15517174--0.15521968)×1.89799891743836e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89799891743836e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89799891743836e-05×40589641000000     		ar = 18158.4473579527m²