Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62297 / 75125
↖ ↑ ↗
← S 25.455675°
W  8.896179°		 ← 275.77 m → S 25.455675°
W  8.893433°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
S 25.458155°
W  8.896179°		 ← 275.77 m →
76 040 m²		 S 25.458155°
W  8.893433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475292205810547 y=0.573162078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475292205810547 × 217)
    floor (0.475292205810547 × 131072)
    floor (62297.5)     		tx = 62297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573162078857422 × 217)
    floor (0.573162078857422 × 131072)
    floor (75125.5)     		ty = 75125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62297 / 75125 ti = "17/62297/75125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62297/75125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62297 ÷ 217
    62297 ÷ 131072     		x = 0.475288391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75125 ÷ 217
    75125 ÷ 131072     		y = 0.573158264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475288391113281 × 2 - 1) × π
    -0.0494232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15526762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573158264160156 × 2 - 1) × π
    -0.146316528320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.459666930456718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15526762} λ = -0.15526762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.459666930456718))-π/2
    2×atan(0.631493941882131)-π/2
    2×0.563255492861701-π/2
    1.1265109857234-1.57079632675     		φ = -0.44428534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15526762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.896179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44428534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.455675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62297 KachelY 75125 -0.15526762 -0.44428534 -8.896179 -25.455675
    Oben rechts KachelX + 1 62298 KachelY 75125 -0.15521968 -0.44428534 -8.893433 -25.455675
    Unten links KachelX 62297 KachelY + 1 75126 -0.15526762 -0.44432862 -8.896179 -25.458155
    Unten rechts KachelX + 1 62298 KachelY + 1 75126 -0.15521968 -0.44432862 -8.893433 -25.458155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44428534--0.44432862) × R
    4.32800000000344e-05 × 6371000     		dl = 275.736880000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44428534--0.44432862) × R
    4.32800000000344e-05 × 6371000     		dr = 275.736880000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15526762--0.15521968) × cos(-0.44428534) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902918065899495 × 6371000     		do = 275.774418436701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15526762--0.15521968) × cos(-0.44432862) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.902899462759728 × 6371000     		du = 275.768736558971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44428534)-sin(-0.44432862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902918065899495-0.902899462759728)×R²
    abs(-0.15521968--0.15526762)×1.86031397672037e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86031397672037e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86031397672037e-05×40589641000000     		ar = 76040.394383808m²