Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62297 / 39014
↖ ↑ ↗
← N 58.668370°
W  8.896179°		 ← 158.82 m → N 58.668370°
W  8.893433°		 →
↑
158.83 m
↓
↑
158.83 m
↓
N 58.666941°
W  8.896179°		 ← 158.83 m →
25 226 m²		 N 58.666941°
W  8.893433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475292205810547 y=0.297657012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475292205810547 × 217)
    floor (0.475292205810547 × 131072)
    floor (62297.5)     		tx = 62297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297657012939453 × 217)
    floor (0.297657012939453 × 131072)
    floor (39014.5)     		ty = 39014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62297 / 39014 ti = "17/62297/39014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62297/39014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62297 ÷ 217
    62297 ÷ 131072     		x = 0.475288391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39014 ÷ 217
    39014 ÷ 131072     		y = 0.297653198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475288391113281 × 2 - 1) × π
    -0.0494232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15526762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297653198242188 × 2 - 1) × π
    0.404693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27138245172313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15526762} λ = -0.15526762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27138245172313))-π/2
    2×atan(3.56577867338695)-π/2
    2×1.29737627102859-π/2
    2.59475254205718-1.57079632675     		φ = 1.02395622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15526762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.896179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02395622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.668370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62297 KachelY 39014 -0.15526762 1.02395622 -8.896179 58.668370
    Oben rechts KachelX + 1 62298 KachelY 39014 -0.15521968 1.02395622 -8.893433 58.668370
    Unten links KachelX 62297 KachelY + 1 39015 -0.15526762 1.02393129 -8.896179 58.666941
    Unten rechts KachelX + 1 62298 KachelY + 1 39015 -0.15521968 1.02393129 -8.893433 58.666941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02395622-1.02393129) × R
    2.49300000001451e-05 × 6371000     		dl = 158.829030000925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02395622-1.02393129) × R
    2.49300000001451e-05 × 6371000     		dr = 158.829030000925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15526762--0.15521968) × cos(1.02395622) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.519990737475023 × 6371000     		do = 158.818555786443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15526762--0.15521968) × cos(1.02393129) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520012031818873 × 6371000     		du = 158.825059627171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02395622)-sin(1.02393129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519990737475023-0.520012031818873)×R²
    abs(-0.15521968--0.15526762)×2.12943438501201e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12943438501201e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12943438501201e-05×40589641000000     		ar = 25225.5136625369m²