Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62296 / 76056
↖ ↑ ↗
← S 27.741885°
W  8.898926°		 ← 270.26 m → S 27.741885°
W  8.896179°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
S 27.744315°
W  8.898926°		 ← 270.26 m →
73 040 m²		 S 27.744315°
W  8.896179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475284576416016 y=0.580265045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475284576416016 × 217)
    floor (0.475284576416016 × 131072)
    floor (62296.5)     		tx = 62296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580265045166016 × 217)
    floor (0.580265045166016 × 131072)
    floor (76056.5)     		ty = 76056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62296 / 76056 ti = "17/62296/76056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62296/76056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62296 ÷ 217
    62296 ÷ 131072     		x = 0.47528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76056 ÷ 217
    76056 ÷ 131072     		y = 0.58026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.0494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15531555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.1605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.504296184002991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15531555} λ = -0.15531555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504296184002991))-π/2
    2×atan(0.603930481815727)-π/2
    2×0.543304549630994-π/2
    1.08660909926199-1.57079632675     		φ = -0.48418723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15531555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48418723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.741885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62296 KachelY 76056 -0.15531555 -0.48418723 -8.898926 -27.741885
    Oben rechts KachelX + 1 62297 KachelY 76056 -0.15526762 -0.48418723 -8.896179 -27.741885
    Unten links KachelX 62296 KachelY + 1 76057 -0.15531555 -0.48422965 -8.898926 -27.744315
    Unten rechts KachelX + 1 62297 KachelY + 1 76057 -0.15526762 -0.48422965 -8.896179 -27.744315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48418723--0.48422965) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48418723--0.48422965) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15531555--0.15526762) × cos(-0.48418723) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.885053577029178 × 6371000     		do = 270.2617569404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15531555--0.15526762) × cos(-0.48422965) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.885033830182358 × 6371000     		du = 270.255727003169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48418723)-sin(-0.48422965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885053577029178-0.885033830182358)×R²
    abs(-0.15526762--0.15531555)×1.97468468202677e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.97468468202677e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.97468468202677e-05×40589641000000     		ar = 73039.5384521297m²