Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62295 / 35103
↖ ↑ ↗
← N 63.822499°
W  8.901672°		 ← 134.74 m → N 63.822499°
W  8.898926°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
N 63.821288°
W  8.901672°		 ← 134.75 m →
18 156 m²		 N 63.821288°
W  8.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475276947021484 y=0.267818450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475276947021484 × 217)
    floor (0.475276947021484 × 131072)
    floor (62295.5)     		tx = 62295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267818450927734 × 217)
    floor (0.267818450927734 × 131072)
    floor (35103.5)     		ty = 35103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62295 / 35103 ti = "17/62295/35103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62295/35103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62295 ÷ 217
    62295 ÷ 131072     		x = 0.475273132324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35103 ÷ 217
    35103 ÷ 131072     		y = 0.267814636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475273132324219 × 2 - 1) × π
    -0.0494537353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15536349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267814636230469 × 2 - 1) × π
    0.464370727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.45886366613717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15536349} λ = -0.15536349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45886366613717))-π/2
    2×atan(4.30106929971357)-π/2
    2×1.34235453858091-π/2
    2.68470907716183-1.57079632675     		φ = 1.11391275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15536349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.901672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11391275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.822499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62295 KachelY 35103 -0.15536349 1.11391275 -8.901672 63.822499
    Oben rechts KachelX + 1 62296 KachelY 35103 -0.15531555 1.11391275 -8.898926 63.822499
    Unten links KachelX 62295 KachelY + 1 35104 -0.15536349 1.11389160 -8.901672 63.821288
    Unten rechts KachelX + 1 62296 KachelY + 1 35104 -0.15531555 1.11389160 -8.898926 63.821288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11391275-1.11389160) × R
    2.11499999998033e-05 × 6371000     		dl = 134.746649998747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11391275-1.11389160) × R
    2.11499999998033e-05 × 6371000     		dr = 134.746649998747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15536349--0.15531555) × cos(1.11391275) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441153476858336 × 6371000     		do = 134.73962712302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15536349--0.15531555) × cos(1.11389160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441172457439575 × 6371000     		du = 134.74542428109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11391275)-sin(1.11389160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441153476858336-0.441172457439575)×R²
    abs(-0.15531555--0.15536349)×1.89805812387811e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89805812387811e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89805812387811e-05×40589641000000     		ar = 18156.1039513813m²