Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62294 / 40271
↖ ↑ ↗
← N 56.826436°
W  8.904419°		 ← 167.12 m → N 56.826436°
W  8.901672°		 →
↑
167.11 m
↓
↑
167.11 m
↓
N 56.824933°
W  8.904419°		 ← 167.13 m →
27 929 m²		 N 56.824933°
W  8.901672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475269317626953 y=0.307247161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475269317626953 × 217)
    floor (0.475269317626953 × 131072)
    floor (62294.5)     		tx = 62294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307247161865234 × 217)
    floor (0.307247161865234 × 131072)
    floor (40271.5)     		ty = 40271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62294 / 40271 ti = "17/62294/40271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62294/40271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62294 ÷ 217
    62294 ÷ 131072     		x = 0.475265502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40271 ÷ 217
    40271 ÷ 131072     		y = 0.307243347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475265502929688 × 2 - 1) × π
    -0.049468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15541143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307243347167969 × 2 - 1) × π
    0.385513305664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.21112576890072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15541143} λ = -0.15541143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21112576890072))-π/2
    2×atan(3.35726202710636)-π/2
    2×1.28130236649726-π/2
    2.56260473299452-1.57079632675     		φ = 0.99180841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15541143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.904419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99180841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.826436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62294 KachelY 40271 -0.15541143 0.99180841 -8.904419 56.826436
    Oben rechts KachelX + 1 62295 KachelY 40271 -0.15536349 0.99180841 -8.901672 56.826436
    Unten links KachelX 62294 KachelY + 1 40272 -0.15541143 0.99178218 -8.904419 56.824933
    Unten rechts KachelX + 1 62295 KachelY + 1 40272 -0.15536349 0.99178218 -8.901672 56.824933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99180841-0.99178218) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dl = 167.111330000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99180841-0.99178218) × R
    2.6230000000016e-05 × 6371000     		dr = 167.111330000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15541143--0.15536349) × cos(0.99180841) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547177086462887 × 6371000     		do = 167.121966543958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15541143--0.15536349) × cos(0.99178218) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547199041227079 × 6371000     		du = 167.128672094058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99180841)-sin(0.99178218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547177086462887-0.547199041227079)×R²
    abs(-0.15536349--0.15541143)×2.19547641927553e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19547641927553e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19547641927553e-05×40589641000000     		ar = 27928.5343897247m²