Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62294 / 39022
↖ ↑ ↗
← N 58.656942°
W  8.904419°		 ← 158.87 m → N 58.656942°
W  8.901672°		 →
↑
158.89 m
↓
↑
158.89 m
↓
N 58.655513°
W  8.904419°		 ← 158.88 m →
25 244 m²		 N 58.655513°
W  8.901672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475269317626953 y=0.297718048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475269317626953 × 217)
    floor (0.475269317626953 × 131072)
    floor (62294.5)     		tx = 62294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297718048095703 × 217)
    floor (0.297718048095703 × 131072)
    floor (39022.5)     		ty = 39022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62294 / 39022 ti = "17/62294/39022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62294/39022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62294 ÷ 217
    62294 ÷ 131072     		x = 0.475265502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39022 ÷ 217
    39022 ÷ 131072     		y = 0.297714233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475265502929688 × 2 - 1) × π
    -0.049468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15541143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297714233398438 × 2 - 1) × π
    0.404571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27099895652617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15541143} λ = -0.15541143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27099895652617))-π/2
    2×atan(3.56441147656574)-π/2
    2×1.297276547721-π/2
    2.594553095442-1.57079632675     		φ = 1.02375677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15541143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.904419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02375677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.656942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62294 KachelY 39022 -0.15541143 1.02375677 -8.904419 58.656942
    Oben rechts KachelX + 1 62295 KachelY 39022 -0.15536349 1.02375677 -8.901672 58.656942
    Unten links KachelX 62294 KachelY + 1 39023 -0.15541143 1.02373183 -8.904419 58.655513
    Unten rechts KachelX + 1 62295 KachelY + 1 39023 -0.15536349 1.02373183 -8.901672 58.655513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02375677-1.02373183) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dl = 158.892740000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02375677-1.02373183) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dr = 158.892740000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15541143--0.15536349) × cos(1.02375677) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520161091716443 × 6371000     		do = 158.87058635669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15541143--0.15536349) × cos(1.02373183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520182392014825 × 6371000     		du = 158.877092016086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02375677)-sin(1.02373183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520161091716443-0.520182392014825)×R²
    abs(-0.15536349--0.15541143)×2.13002983816546e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13002983816546e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13002983816546e-05×40589641000000     		ar = 25243.8996241144m²