Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62292 / 38436
↖ ↑ ↗
← N 59.484148°
W  8.909912°		 ← 155.06 m → N 59.484148°
W  8.907166°		 →
↑
155.07 m
↓
↑
155.07 m
↓
N 59.482753°
W  8.909912°		 ← 155.06 m →
24 045 m²		 N 59.482753°
W  8.907166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475254058837891 y=0.293247222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475254058837891 × 217)
    floor (0.475254058837891 × 131072)
    floor (62292.5)     		tx = 62292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293247222900391 × 217)
    floor (0.293247222900391 × 131072)
    floor (38436.5)     		ty = 38436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62292 / 38436 ti = "17/62292/38436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62292/38436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62292 ÷ 217
    62292 ÷ 131072     		x = 0.475250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38436 ÷ 217
    38436 ÷ 131072     		y = 0.293243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475250244140625 × 2 - 1) × π
    -0.04949951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15550730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293243408203125 × 2 - 1) × π
    0.41351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29908997970352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15550730} λ = -0.15550730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29908997970352))-π/2
    2×atan(3.6659590520572)-π/2
    2×1.30449528013909-π/2
    2.60899056027818-1.57079632675     		φ = 1.03819423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15550730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.909912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03819423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.484148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62292 KachelY 38436 -0.15550730 1.03819423 -8.909912 59.484148
    Oben rechts KachelX + 1 62293 KachelY 38436 -0.15545937 1.03819423 -8.907166 59.484148
    Unten links KachelX 62292 KachelY + 1 38437 -0.15550730 1.03816989 -8.909912 59.482753
    Unten rechts KachelX + 1 62293 KachelY + 1 38437 -0.15545937 1.03816989 -8.907166 59.482753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03819423-1.03816989) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dl = 155.07013999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03819423-1.03816989) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dr = 155.07013999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15550730--0.15545937) × cos(1.03819423) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.507776734725241 × 6371000     		do = 155.055734502386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15550730--0.15545937) × cos(1.03816989) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.507797703209889 × 6371000     		du = 155.062137481425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03819423)-sin(1.03816989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507776734725241-0.507797703209889)×R²
    abs(-0.15545937--0.15550730)×2.09684846486091e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09684846486091e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09684846486091e-05×40589641000000     		ar = 24045.0109136983m²