Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62291 / 75102
↖ ↑ ↗
← S 25.398623°
W  8.912659°		 ← 275.90 m → S 25.398623°
W  8.909912°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
S 25.401104°
W  8.912659°		 ← 275.90 m →
76 129 m²		 S 25.401104°
W  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475246429443359 y=0.572986602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475246429443359 × 217)
    floor (0.475246429443359 × 131072)
    floor (62291.5)     		tx = 62291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572986602783203 × 217)
    floor (0.572986602783203 × 131072)
    floor (75102.5)     		ty = 75102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62291 / 75102 ti = "17/62291/75102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62291/75102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62291 ÷ 217
    62291 ÷ 131072     		x = 0.475242614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75102 ÷ 217
    75102 ÷ 131072     		y = 0.572982788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475242614746094 × 2 - 1) × π
    -0.0495147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15555524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572982788085938 × 2 - 1) × π
    -0.145965576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.458564381765457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15555524} λ = -0.15555524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458564381765457))-π/2
    2×atan(0.632190578668711)-π/2
    2×0.563753366304305-π/2
    1.12750673260861-1.57079632675     		φ = -0.44328959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15555524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.912659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44328959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.398623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62291 KachelY 75102 -0.15555524 -0.44328959 -8.912659 -25.398623
    Oben rechts KachelX + 1 62292 KachelY 75102 -0.15550730 -0.44328959 -8.909912 -25.398623
    Unten links KachelX 62291 KachelY + 1 75103 -0.15555524 -0.44333290 -8.912659 -25.401104
    Unten rechts KachelX + 1 62292 KachelY + 1 75103 -0.15550730 -0.44333290 -8.909912 -25.401104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44328959--0.44333290) × R
    4.33099999999631e-05 × 6371000     		dl = 275.928009999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44328959--0.44333290) × R
    4.33099999999631e-05 × 6371000     		dr = 275.928009999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15555524--0.15550730) × cos(-0.44328959) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.903345604205692 × 6371000     		do = 275.904999640409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15555524--0.15550730) × cos(-0.44333290) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.903327027118375 × 6371000     		du = 275.899325719768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44328959)-sin(-0.44333290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903345604205692-0.903327027118375)×R²
    abs(-0.15550730--0.15555524)×1.85770873164515e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85770873164515e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85770873164515e-05×40589641000000     		ar = 76129.1347148406m²