Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62291 / 38442
↖ ↑ ↗
← N 59.475779°
W  8.912659°		 ← 155.13 m → N 59.475779°
W  8.909912°		 →
↑
155.13 m
↓
↑
155.13 m
↓
N 59.474384°
W  8.912659°		 ← 155.13 m →
24 066 m²		 N 59.474384°
W  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475246429443359 y=0.293292999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475246429443359 × 217)
    floor (0.475246429443359 × 131072)
    floor (62291.5)     		tx = 62291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293292999267578 × 217)
    floor (0.293292999267578 × 131072)
    floor (38442.5)     		ty = 38442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62291 / 38442 ti = "17/62291/38442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62291/38442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62291 ÷ 217
    62291 ÷ 131072     		x = 0.475242614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38442 ÷ 217
    38442 ÷ 131072     		y = 0.293289184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475242614746094 × 2 - 1) × π
    -0.0495147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15555524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293289184570312 × 2 - 1) × π
    0.413421630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2988023583058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15555524} λ = -0.15555524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2988023583058))-π/2
    2×atan(3.66490479541131)-π/2
    2×1.30442224736494-π/2
    2.60884449472989-1.57079632675     		φ = 1.03804817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15555524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.912659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03804817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.475779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62291 KachelY 38442 -0.15555524 1.03804817 -8.912659 59.475779
    Oben rechts KachelX + 1 62292 KachelY 38442 -0.15550730 1.03804817 -8.909912 59.475779
    Unten links KachelX 62291 KachelY + 1 38443 -0.15555524 1.03802382 -8.912659 59.474384
    Unten rechts KachelX + 1 62292 KachelY + 1 38443 -0.15550730 1.03802382 -8.909912 59.474384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03804817-1.03802382) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dl = 155.133849999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03804817-1.03802382) × R
    2.43499999998953e-05 × 6371000     		dr = 155.133849999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15555524--0.15550730) × cos(1.03804817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507902558348613 × 6371000     		do = 155.126514731596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15555524--0.15550730) × cos(1.03802382) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507923533641825 × 6371000     		du = 155.132921126047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03804817)-sin(1.03802382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507902558348613-0.507923533641825)×R²
    abs(-0.15550730--0.15555524)×2.09752932118779e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09752932118779e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09752932118779e-05×40589641000000     		ar = 24065.8703928033m²