Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62290 / 39619
↖ ↑ ↗
← N 57.793553°
W  8.915405°		 ← 162.78 m → N 57.793553°
W  8.912659°		 →
↑
162.78 m
↓
↑
162.78 m
↓
N 57.792089°
W  8.915405°		 ← 162.79 m →
26 498 m²		 N 57.792089°
W  8.912659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475238800048828 y=0.302272796630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475238800048828 × 217)
    floor (0.475238800048828 × 131072)
    floor (62290.5)     		tx = 62290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302272796630859 × 217)
    floor (0.302272796630859 × 131072)
    floor (39619.5)     		ty = 39619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62290 / 39619 ti = "17/62290/39619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62290/39619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62290 ÷ 217
    62290 ÷ 131072     		x = 0.475234985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39619 ÷ 217
    39619 ÷ 131072     		y = 0.302268981933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475234985351562 × 2 - 1) × π
    -0.049530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15560318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302268981933594 × 2 - 1) × π
    0.395462036132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.242380627453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15560318} λ = -0.15560318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.242380627453))-π/2
    2×atan(3.46384979296848)-π/2
    2×1.28974205305605-π/2
    2.57948410611211-1.57079632675     		φ = 1.00868778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15560318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.915405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00868778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.793553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62290 KachelY 39619 -0.15560318 1.00868778 -8.915405 57.793553
    Oben rechts KachelX + 1 62291 KachelY 39619 -0.15555524 1.00868778 -8.912659 57.793553
    Unten links KachelX 62290 KachelY + 1 39620 -0.15560318 1.00866223 -8.915405 57.792089
    Unten rechts KachelX + 1 62291 KachelY + 1 39620 -0.15555524 1.00866223 -8.912659 57.792089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00868778-1.00866223) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dl = 162.779049999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00868778-1.00866223) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dr = 162.779049999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15560318--0.15555524) × cos(1.00868778) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532971492827498 × 6371000     		do = 162.783212595731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15560318--0.15555524) × cos(1.00866223) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532993111356728 × 6371000     		du = 162.789815451018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00868778)-sin(1.00866223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532971492827498-0.532993111356728)×R²
    abs(-0.15555524--0.15560318)×2.16185292299942e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16185292299942e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16185292299942e-05×40589641000000     		ar = 26498.2341069058m²