Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6229 / 7276
↖ ↑ ↗
← N 19.725342°
W 43.132324°		 ← 2 299.85 m → N 19.725342°
W 43.110352°		 →
↑
2 300.06 m
↓
↑
2 300.06 m
↓
N 19.704657°
W 43.132324°		 ← 2 300.15 m →
5 290 132 m²		 N 19.704657°
W 43.110352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380218505859375 y=0.444122314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380218505859375 × 214)
    floor (0.380218505859375 × 16384)
    floor (6229.5)     		tx = 6229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444122314453125 × 214)
    floor (0.444122314453125 × 16384)
    floor (7276.5)     		ty = 7276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6229 / 7276 ti = "14/6229/7276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6229/7276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6229 ÷ 214
    6229 ÷ 16384     		x = 0.38018798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7276 ÷ 214
    7276 ÷ 16384     		y = 0.444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.2396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75280107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    0.11181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351281600415771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75280107} λ = -0.75280107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351281600415771))-π/2
    2×atan(1.42088739206052)-π/2
    2×0.957534247548398-π/2
    1.9150684950968-1.57079632675     		φ = 0.34427217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75280107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.132324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34427217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.725342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6229 KachelY 7276 -0.75280107 0.34427217 -43.132324 19.725342
    Oben rechts KachelX + 1 6230 KachelY 7276 -0.75241758 0.34427217 -43.110352 19.725342
    Unten links KachelX 6229 KachelY + 1 7277 -0.75280107 0.34391115 -43.132324 19.704657
    Unten rechts KachelX + 1 6230 KachelY + 1 7277 -0.75241758 0.34391115 -43.110352 19.704657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34427217-0.34391115) × R
    0.00036101999999999 × 6371000     		dl = 2300.05841999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34427217-0.34391115) × R
    0.00036101999999999 × 6371000     		dr = 2300.05841999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75280107--0.75241758) × cos(0.34427217) × R
    0.000383489999999931 × 0.94132135301138 × 6371000     		do = 2299.8502518198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75280107--0.75241758) × cos(0.34391115) × R
    0.000383489999999931 × 0.941443140118968 × 6371000     		du = 2300.14780388229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34427217)-sin(0.34391115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94132135301138-0.941443140118968)×R²
    abs(-0.75241758--0.75280107)×0.000121787107587146×R²
    0.000383489999999931×0.000121787107587146×6371000²
    0.000383489999999931×0.000121787107587146×40589641000000     		ar = 5290132.18745815m²