Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62287 / 75985
↖ ↑ ↗
← S 27.569156°
W  8.923645°		 ← 270.75 m → S 27.569156°
W  8.920898°		 →
↑
270.70 m
↓
↑
270.70 m
↓
S 27.571591°
W  8.923645°		 ← 270.74 m →
73 291 m²		 S 27.571591°
W  8.920898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475215911865234 y=0.579723358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475215911865234 × 217)
    floor (0.475215911865234 × 131072)
    floor (62287.5)     		tx = 62287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579723358154297 × 217)
    floor (0.579723358154297 × 131072)
    floor (75985.5)     		ty = 75985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62287 / 75985 ti = "17/62287/75985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62287/75985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62287 ÷ 217
    62287 ÷ 131072     		x = 0.475212097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75985 ÷ 217
    75985 ÷ 131072     		y = 0.579719543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475212097167969 × 2 - 1) × π
    -0.0495758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15574699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579719543457031 × 2 - 1) × π
    -0.159439086914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.500892664129967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15574699} λ = -0.15574699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.500892664129967))-π/2
    2×atan(0.605989473133843)-π/2
    2×0.544811889796969-π/2
    1.08962377959394-1.57079632675     		φ = -0.48117255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15574699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.923645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48117255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.569156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62287 KachelY 75985 -0.15574699 -0.48117255 -8.923645 -27.569156
    Oben rechts KachelX + 1 62288 KachelY 75985 -0.15569905 -0.48117255 -8.920898 -27.569156
    Unten links KachelX 62287 KachelY + 1 75986 -0.15574699 -0.48121504 -8.923645 -27.571591
    Unten rechts KachelX + 1 62288 KachelY + 1 75986 -0.15569905 -0.48121504 -8.920898 -27.571591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48117255--0.48121504) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dl = 270.703790000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48117255--0.48121504) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dr = 270.703790000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15574699--0.15569905) × cos(-0.48117255) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.886452853978238 × 6371000     		do = 270.745518901394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15574699--0.15569905) × cos(-0.48121504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.886433188002822 × 6371000     		du = 270.7395124063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48117255)-sin(-0.48121504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886452853978238-0.886433188002822)×R²
    abs(-0.15569905--0.15574699)×1.96659754156947e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.96659754156947e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.96659754156947e-05×40589641000000     		ar = 73291.0251126787m²