Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62284 / 35108
↖ ↑ ↗
← N 63.816440°
W  8.931885°		 ← 134.77 m → N 63.816440°
W  8.929138°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
N 63.815228°
W  8.931885°		 ← 134.77 m →
18 160 m²		 N 63.815228°
W  8.929138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475193023681641 y=0.267856597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475193023681641 × 217)
    floor (0.475193023681641 × 131072)
    floor (62284.5)     		tx = 62284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267856597900391 × 217)
    floor (0.267856597900391 × 131072)
    floor (35108.5)     		ty = 35108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62284 / 35108 ti = "17/62284/35108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62284/35108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62284 ÷ 217
    62284 ÷ 131072     		x = 0.475189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35108 ÷ 217
    35108 ÷ 131072     		y = 0.267852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475189208984375 × 2 - 1) × π
    -0.04962158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15589080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267852783203125 × 2 - 1) × π
    0.46429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45862398163907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15589080} λ = -0.15589080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45862398163907))-π/2
    2×atan(4.30003852361264)-π/2
    2×1.34230166406975-π/2
    2.68460332813949-1.57079632675     		φ = 1.11380700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15589080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.931885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11380700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.816440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62284 KachelY 35108 -0.15589080 1.11380700 -8.931885 63.816440
    Oben rechts KachelX + 1 62285 KachelY 35108 -0.15584286 1.11380700 -8.929138 63.816440
    Unten links KachelX 62284 KachelY + 1 35109 -0.15589080 1.11378585 -8.931885 63.815228
    Unten rechts KachelX + 1 62285 KachelY + 1 35109 -0.15584286 1.11378585 -8.929138 63.815228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11380700-1.11378585) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11380700-1.11378585) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15589080--0.15584286) × cos(1.11380700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441248377790982 × 6371000     		do = 134.7686123106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15589080--0.15584286) × cos(1.11378585) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441267357385405 × 6371000     		du = 134.774409167271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11380700)-sin(1.11378585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441248377790982-0.441267357385405)×R²
    abs(-0.15584286--0.15589080)×1.89795944222637e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89795944222637e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89795944222637e-05×40589641000000     		ar = 18160.0095880978m²