Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62283 / 39019
↖ ↑ ↗
← N 58.661228°
W  8.934631°		 ← 158.82 m → N 58.661228°
W  8.931885°		 →
↑
158.83 m
↓
↑
158.83 m
↓
N 58.659800°
W  8.934631°		 ← 158.82 m →
25 225 m²		 N 58.659800°
W  8.931885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475185394287109 y=0.297695159912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475185394287109 × 217)
    floor (0.475185394287109 × 131072)
    floor (62283.5)     		tx = 62283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297695159912109 × 217)
    floor (0.297695159912109 × 131072)
    floor (39019.5)     		ty = 39019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62283 / 39019 ti = "17/62283/39019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62283/39019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62283 ÷ 217
    62283 ÷ 131072     		x = 0.475181579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39019 ÷ 217
    39019 ÷ 131072     		y = 0.297691345214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475181579589844 × 2 - 1) × π
    -0.0496368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15593873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297691345214844 × 2 - 1) × π
    0.404617309570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.27114276722503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15593873} λ = -0.15593873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27114276722503))-π/2
    2×atan(3.5649241139317)-π/2
    2×1.29731394778925-π/2
    2.5946278955785-1.57079632675     		φ = 1.02383157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15593873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.934631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02383157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.661228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62283 KachelY 39019 -0.15593873 1.02383157 -8.934631 58.661228
    Oben rechts KachelX + 1 62284 KachelY 39019 -0.15589080 1.02383157 -8.931885 58.661228
    Unten links KachelX 62283 KachelY + 1 39020 -0.15593873 1.02380664 -8.934631 58.659800
    Unten rechts KachelX + 1 62284 KachelY + 1 39020 -0.15589080 1.02380664 -8.931885 58.659800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02383157-1.02380664) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dl = 158.82902999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02383157-1.02380664) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dr = 158.82902999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15593873--0.15589080) × cos(1.02383157) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520097205962241 × 6371000     		do = 158.817938609963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15593873--0.15589080) × cos(1.02380664) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520118498690008 × 6371000     		du = 158.824440600539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02383157)-sin(1.02380664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520097205962241-0.520118498690008)×R²
    abs(-0.15589080--0.15593873)×2.1292727767519e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1292727767519e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1292727767519e-05×40589641000000     		ar = 25225.4154896943m²