Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62283 / 25881
↖ ↑ ↗
← N 73.002531°
W  8.934631°		 ← 89.27 m → N 73.002531°
W  8.931885°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
N 73.001727°
W  8.934631°		 ← 89.27 m →
7 974 m²		 N 73.001727°
W  8.931885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475185394287109 y=0.197460174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475185394287109 × 217)
    floor (0.475185394287109 × 131072)
    floor (62283.5)     		tx = 62283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197460174560547 × 217)
    floor (0.197460174560547 × 131072)
    floor (25881.5)     		ty = 25881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62283 / 25881 ti = "17/62283/25881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62283/25881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62283 ÷ 217
    62283 ÷ 131072     		x = 0.475181579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25881 ÷ 217
    25881 ÷ 131072     		y = 0.197456359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475181579589844 × 2 - 1) × π
    -0.0496368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15593873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197456359863281 × 2 - 1) × π
    0.605087280273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.90093775443333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15593873} λ = -0.15593873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90093775443333))-π/2
    2×atan(6.69216711008462)-π/2
    2×1.4224654222565-π/2
    2.844930844513-1.57079632675     		φ = 1.27413452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15593873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.934631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27413452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.002531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62283 KachelY 25881 -0.15593873 1.27413452 -8.934631 73.002531
    Oben rechts KachelX + 1 62284 KachelY 25881 -0.15589080 1.27413452 -8.931885 73.002531
    Unten links KachelX 62283 KachelY + 1 25882 -0.15593873 1.27412050 -8.934631 73.001727
    Unten rechts KachelX + 1 62284 KachelY + 1 25882 -0.15589080 1.27412050 -8.931885 73.001727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27413452-1.27412050) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27413452-1.27412050) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15593873--0.15589080) × cos(1.27413452) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.292329468239532 × 6371000     		do = 89.2663198504469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15593873--0.15589080) × cos(1.27412050) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.292342875784506 × 6371000     		du = 89.2704140055975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27413452)-sin(1.27412050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292329468239532-0.292342875784506)×R²
    abs(-0.15589080--0.15593873)×1.34075449738091e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.34075449738091e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.34075449738091e-05×40589641000000     		ar = 7973.57729519123m²