Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62282 / 39018
↖ ↑ ↗
← N 58.662656°
W  8.937378°		 ← 158.84 m → N 58.662656°
W  8.934631°		 →
↑
158.83 m
↓
↑
158.83 m
↓
N 58.661228°
W  8.937378°		 ← 158.85 m →
25 230 m²		 N 58.661228°
W  8.934631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475177764892578 y=0.297687530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475177764892578 × 217)
    floor (0.475177764892578 × 131072)
    floor (62282.5)     		tx = 62282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297687530517578 × 217)
    floor (0.297687530517578 × 131072)
    floor (39018.5)     		ty = 39018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62282 / 39018 ti = "17/62282/39018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62282/39018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62282 ÷ 217
    62282 ÷ 131072     		x = 0.475173950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39018 ÷ 217
    39018 ÷ 131072     		y = 0.297683715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475173950195312 × 2 - 1) × π
    -0.049652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15598667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297683715820312 × 2 - 1) × π
    0.404632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27119070412465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15598667} λ = -0.15598667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27119070412465))-π/2
    2×atan(3.56509500943717)-π/2
    2×1.29732641345785-π/2
    2.59465282691571-1.57079632675     		φ = 1.02385650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15598667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.937378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02385650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.662656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62282 KachelY 39018 -0.15598667 1.02385650 -8.937378 58.662656
    Oben rechts KachelX + 1 62283 KachelY 39018 -0.15593873 1.02385650 -8.934631 58.662656
    Unten links KachelX 62282 KachelY + 1 39019 -0.15598667 1.02383157 -8.937378 58.661228
    Unten rechts KachelX + 1 62283 KachelY + 1 39019 -0.15593873 1.02383157 -8.934631 58.661228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02385650-1.02383157) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dl = 158.82902999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02385650-1.02383157) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dr = 158.82902999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15598667--0.15593873) × cos(1.02385650) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52007591291123 × 6371000     		do = 158.844570557076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15598667--0.15593873) × cos(1.02383157) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520097205962241 × 6371000     		du = 158.851074002938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02385650)-sin(1.02383157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52007591291123-0.520097205962241)×R²
    abs(-0.15593873--0.15598667)×2.12930510103959e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12930510103959e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12930510103959e-05×40589641000000     		ar = 25229.6455316323m²