Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62281 / 25879
↖ ↑ ↗
← N 73.004136°
W  8.940125°		 ← 89.28 m → N 73.004136°
W  8.937378°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
N 73.003333°
W  8.940125°		 ← 89.28 m →
7 969 m²		 N 73.003333°
W  8.937378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475170135498047 y=0.197444915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475170135498047 × 217)
    floor (0.475170135498047 × 131072)
    floor (62281.5)     		tx = 62281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197444915771484 × 217)
    floor (0.197444915771484 × 131072)
    floor (25879.5)     		ty = 25879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62281 / 25879 ti = "17/62281/25879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62281/25879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62281 ÷ 217
    62281 ÷ 131072     		x = 0.475166320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25879 ÷ 217
    25879 ÷ 131072     		y = 0.197441101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475166320800781 × 2 - 1) × π
    -0.0496673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15603461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197441101074219 × 2 - 1) × π
    0.605117797851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.90103362823257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15603461} λ = -0.15603461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90103362823257))-π/2
    2×atan(6.69280874432808)-π/2
    2×1.42247943498258-π/2
    2.84495886996517-1.57079632675     		φ = 1.27416254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15603461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.940125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27416254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.004136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62281 KachelY 25879 -0.15603461 1.27416254 -8.940125 73.004136
    Oben rechts KachelX + 1 62282 KachelY 25879 -0.15598667 1.27416254 -8.937378 73.004136
    Unten links KachelX 62281 KachelY + 1 25880 -0.15603461 1.27414853 -8.940125 73.003333
    Unten rechts KachelX + 1 62282 KachelY + 1 25880 -0.15598667 1.27414853 -8.937378 73.003333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27416254-1.27414853) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dl = 89.257710000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27416254-1.27414853) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dr = 89.257710000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15603461--0.15598667) × cos(1.27416254) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.292302672103723 × 6371000     		do = 89.2767599312501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15603461--0.15598667) × cos(1.27414853) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.292316070200316 × 6371000     		du = 89.2808520548165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27416254)-sin(1.27414853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292302672103723-0.292316070200316)×R²
    abs(-0.15598667--0.15603461)×1.33980965924541e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.33980965924541e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.33980965924541e-05×40589641000000     		ar = 7968.82177459777m²