Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62280 / 39753
↖ ↑ ↗
← N 57.596863°
W  8.942871°		 ← 163.67 m → N 57.596863°
W  8.940125°		 →
↑
163.67 m
↓
↑
163.67 m
↓
N 57.595391°
W  8.942871°		 ← 163.68 m →
26 788 m²		 N 57.595391°
W  8.940125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475162506103516 y=0.303295135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475162506103516 × 217)
    floor (0.475162506103516 × 131072)
    floor (62280.5)     		tx = 62280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303295135498047 × 217)
    floor (0.303295135498047 × 131072)
    floor (39753.5)     		ty = 39753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62280 / 39753 ti = "17/62280/39753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62280/39753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62280 ÷ 217
    62280 ÷ 131072     		x = 0.47515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39753 ÷ 217
    39753 ÷ 131072     		y = 0.303291320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.0496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15608255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303291320800781 × 2 - 1) × π
    0.393417358398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.23595708290391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15608255} λ = -0.15608255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23595708290391))-π/2
    2×atan(3.44167090929755)-π/2
    2×1.28802561299801-π/2
    2.57605122599602-1.57079632675     		φ = 1.00525490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15608255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.942871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00525490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.596863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62280 KachelY 39753 -0.15608255 1.00525490 -8.942871 57.596863
    Oben rechts KachelX + 1 62281 KachelY 39753 -0.15603461 1.00525490 -8.940125 57.596863
    Unten links KachelX 62280 KachelY + 1 39754 -0.15608255 1.00522921 -8.942871 57.595391
    Unten rechts KachelX + 1 62281 KachelY + 1 39754 -0.15603461 1.00522921 -8.940125 57.595391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00525490-1.00522921) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dl = 163.670989999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00525490-1.00522921) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dr = 163.670989999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15608255--0.15603461) × cos(1.00525490) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535873020411085 × 6371000     		do = 163.669413805078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15608255--0.15603461) × cos(1.00522921) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535894710264981 × 6371000     		du = 163.676038444755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00525490)-sin(1.00522921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535873020411085-0.535894710264981)×R²
    abs(-0.15603461--0.15608255)×2.16898538960564e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16898538960564e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16898538960564e-05×40589641000000     		ar = 26788.4771224331m²