Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62280 / 33980
↖ ↑ ↗
← N 65.150732°
W  8.942871°		 ← 128.35 m → N 65.150732°
W  8.940125°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
N 65.149578°
W  8.942871°		 ← 128.36 m →
16 469 m²		 N 65.149578°
W  8.940125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475162506103516 y=0.259250640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475162506103516 × 217)
    floor (0.475162506103516 × 131072)
    floor (62280.5)     		tx = 62280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259250640869141 × 217)
    floor (0.259250640869141 × 131072)
    floor (33980.5)     		ty = 33980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62280 / 33980 ti = "17/62280/33980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62280/33980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62280 ÷ 217
    62280 ÷ 131072     		x = 0.47515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33980 ÷ 217
    33980 ÷ 131072     		y = 0.259246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.0496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15608255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259246826171875 × 2 - 1) × π
    0.48150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51269680441049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15608255} λ = -0.15608255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51269680441049))-π/2
    2×atan(4.53895497759254)-π/2
    2×1.35394555566745-π/2
    2.7078911113349-1.57079632675     		φ = 1.13709478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15608255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.942871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13709478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.150732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62280 KachelY 33980 -0.15608255 1.13709478 -8.942871 65.150732
    Oben rechts KachelX + 1 62281 KachelY 33980 -0.15603461 1.13709478 -8.940125 65.150732
    Unten links KachelX 62280 KachelY + 1 33981 -0.15608255 1.13707464 -8.942871 65.149578
    Unten rechts KachelX + 1 62281 KachelY + 1 33981 -0.15603461 1.13707464 -8.940125 65.149578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13709478-1.13707464) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13709478-1.13707464) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15608255--0.15603461) × cos(1.13709478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420232518139637 × 6371000     		do = 128.349827824852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15608255--0.15603461) × cos(1.13707464) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420250793421899 × 6371000     		du = 128.355409566461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13709478)-sin(1.13707464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420232518139637-0.420250793421899)×R²
    abs(-0.15603461--0.15608255)×1.82752822627252e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82752822627252e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82752822627252e-05×40589641000000     		ar = 16469.1735093046m²