Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62280 / 25897
↖ ↑ ↗
← N 72.989679°
W  8.942871°		 ← 89.35 m → N 72.989679°
W  8.940125°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
N 72.988876°
W  8.942871°		 ← 89.35 m →
7 981 m²		 N 72.988876°
W  8.940125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475162506103516 y=0.197582244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475162506103516 × 217)
    floor (0.475162506103516 × 131072)
    floor (62280.5)     		tx = 62280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197582244873047 × 217)
    floor (0.197582244873047 × 131072)
    floor (25897.5)     		ty = 25897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62280 / 25897 ti = "17/62280/25897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62280/25897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62280 ÷ 217
    62280 ÷ 131072     		x = 0.47515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25897 ÷ 217
    25897 ÷ 131072     		y = 0.197578430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.0496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15608255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197578430175781 × 2 - 1) × π
    0.604843139648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.90017076403941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15608255} λ = -0.15608255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90017076403941))-π/2
    2×atan(6.68703625010836)-π/2
    2×1.42235327418509-π/2
    2.84470654837017-1.57079632675     		φ = 1.27391022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15608255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.942871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27391022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.989679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62280 KachelY 25897 -0.15608255 1.27391022 -8.942871 72.989679
    Oben rechts KachelX + 1 62281 KachelY 25897 -0.15603461 1.27391022 -8.940125 72.989679
    Unten links KachelX 62280 KachelY + 1 25898 -0.15608255 1.27389620 -8.942871 72.988876
    Unten rechts KachelX + 1 62281 KachelY + 1 25898 -0.15603461 1.27389620 -8.940125 72.988876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27391022-1.27389620) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27391022-1.27389620) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15608255--0.15603461) × cos(1.27391022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.292543962937031 × 6371000     		do = 89.3504563625684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15608255--0.15603461) × cos(1.27389620) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.292557369562362 × 6371000     		du = 89.3545510910311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27391022)-sin(1.27389620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292543962937031-0.292557369562362)×R²
    abs(-0.15603461--0.15608255)×1.34066253310583e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.34066253310583e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.34066253310583e-05×40589641000000     		ar = 7981.09251362405m²