Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6228 / 10580
↖ ↑ ↗
← S 46.377254°
W 43.154297°		 ← 1 685.63 m → S 46.377254°
W 43.132324°		 →
↑
1 685.38 m
↓
↑
1 685.38 m
↓
S 46.392411°
W 43.154297°		 ← 1 685.17 m →
2 840 548 m²		 S 46.392411°
W 43.132324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380157470703125 y=0.645782470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380157470703125 × 214)
    floor (0.380157470703125 × 16384)
    floor (6228.5)     		tx = 6228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645782470703125 × 214)
    floor (0.645782470703125 × 16384)
    floor (10580.5)     		ty = 10580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6228 / 10580 ti = "14/6228/10580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6228/10580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6228 ÷ 214
    6228 ÷ 16384     		x = 0.380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10580 ÷ 214
    10580 ÷ 16384     		y = 0.645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.23974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75318457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.29150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.915786530341553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75318457} λ = -0.75318457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915786530341553))-π/2
    2×atan(0.400201731465424)-π/2
    2×0.380680271449785-π/2
    0.76136054289957-1.57079632675     		φ = -0.80943578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75318457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.154297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80943578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.377254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6228 KachelY 10580 -0.75318457 -0.80943578 -43.154297 -46.377254
    Oben rechts KachelX + 1 6229 KachelY 10580 -0.75280107 -0.80943578 -43.132324 -46.377254
    Unten links KachelX 6228 KachelY + 1 10581 -0.75318457 -0.80970032 -43.154297 -46.392411
    Unten rechts KachelX + 1 6229 KachelY + 1 10581 -0.75280107 -0.80970032 -43.132324 -46.392411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80943578--0.80970032) × R
    0.00026453999999998 × 6371000     		dl = 1685.38433999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80943578--0.80970032) × R
    0.00026453999999998 × 6371000     		dr = 1685.38433999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75318457--0.75280107) × cos(-0.80943578) × R
    0.000383500000000092 × 0.689906980490674 × 6371000     		do = 1685.63489243319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75318457--0.75280107) × cos(-0.80970032) × R
    0.000383500000000092 × 0.689715456367641 × 6371000     		du = 1685.16694566115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80943578)-sin(-0.80970032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689906980490674-0.689715456367641)×R²
    abs(-0.75280107--0.75318457)×0.000191524123033693×R²
    0.000383500000000092×0.000191524123033693×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191524123033693×40589641000000     		ar = 2840548.33214768m²